Sucesiones · Definición

Teorema de Bolzano-Weierstrass

análisis realsucesiones

Antes de empezar necesitas conocer

Garantiza límites sin conocer la sucesión: basta saber que está acotada para que algo converja dentro de ella.

Definición

Toda sucesión real acotada \((a_n)\) tiene al menos una subsucesión \((a_{n_k})\) que converge a un número del conjunto \(\mathbb R\) de los reales.

\[\exists\,(n_k):\ \lim_{k\to\infty}a_{n_k}\in\mathbb R\]

Una forma de probarlo usa el teorema de convergencia monótona: toda sucesión real tiene una subsucesión monótona (el lema de los picos), y si además la sucesión está acotada, esa subsucesión monótona está acotada y converge. Otra prueba es por bisección: se divide el intervalo \([-M,M]\) que contiene la sucesión en dos mitades, se elige una con infinitos términos, y se repite; los intervalos encajados tienen longitud \(2M/2^j\to0\) y comparten un único punto, que resulta ser el límite de una subsucesión.

La hipótesis de acotación no puede quitarse: \(a_n=n\) no tiene subsucesiones convergentes. Tampoco se puede esperar que toda la sucesión converja: \((-1)^n\) está acotada y diverge, pero la subsucesión de pares converge a \(1\) y la de impares a \(-1\). El teorema solo afirma que existe al menos una subsucesión convergente, no que sea única.

Una consecuencia útil: si una sucesión acotada tiene un único valor que es límite de subsucesiones convergentes, entonces toda la sucesión converge a ese valor. El teorema también depende esencialmente de la completitud: en \(\mathbb Q\) falla, porque los truncamientos decimales de \(\sqrt2\) están acotados y sus subsucesiones convergen a un irracional.

El teorema es el motor de resultados posteriores: el teorema del valor extremo, la equivalencia entre cerrado y acotado con compacto en \(\mathbb R\) y el criterio de Cauchy.

Para pensar

¿Qué dice el teorema sobre \(a_n=\sin n\)?

Como \(|\sin n|\le1\), existe alguna subsucesión convergente, aunque no la podamos describir explícitamente.

Una sucesión acotada tiene dos subsucesiones con límites distintos y diverge. ¿Contradice esto el teorema?

No: el teorema solo asegura que existe una subsucesión convergente, no que toda la sucesión converja.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de estas sucesiones cumple la hipótesis del teorema de Bolzano-Weierstrass?
  2. Sea \(a_n=(-1)^n\). ¿Cuál de estas es una subsucesión convergente?
  3. Para \(a_n=n\), ¿por qué el teorema de Bolzano-Weierstrass no asegura una subsucesión convergente?
  4. Sea \(a_n=\frac{3n+1}{n+1}\). ¿A qué número converge cualquier subsucesión de \((a_n)\)?
  5. ¿Cuál de estas afirmaciones es verdadera?
  6. Sea \(a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{3}\right)\). ¿Cuántos números distintos son límite de alguna subsucesión?
  7. En la prueba por bisección se parte de \([-8,8]\) y en cada paso se queda la mitad con infinitos términos. ¿Cuánto mide el intervalo tras 3 pasos?
  8. Si \((a_n)\) es acotada y todas sus subsucesiones convergentes tienen límite \(4\), ¿qué se concluye?
  9. ¿Por qué el teorema de Bolzano-Weierstrass falla si solo se admiten números racionales?
  10. Sea \(a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1}\). ¿Cuál es el mayor límite de una subsucesión convergente?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §2.5, Teorema 2.5.5
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 3, Teorema 3.6(b)
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §3.4, Teorema 3.4.7