Sucesión monótona

Se dice que \((a_n)\) es creciente si \(a_n\le a_{n+1}\) para todo \(n\), y decreciente si \(a_n\ge a_{n+1}\) para todo \(n\). Cuando las desigualdades son estrictas se habla de sucesión estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Una sucesión constante es a la vez creciente y decreciente en el sentido amplio.

Para comprobar la monotonía de \(a_n\) hay tres recursos habituales: estudiar el signo de \(a_{n+1}-a_n\), comparar el cociente \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) con \(1\) cuando los términos son positivos, o derivar una función \(f\) con \(a_n=f(n)\). Por ejemplo, \(a_n=\frac{n}{n+1}\) cumple \(a_{n+1}-a_n=\frac1{(n+1)(n+2)}>0\), luego es estrictamente creciente.

Hay que cuidarse de dos errores. El primero es creer que «monótona» exige que cada término cambie: la sucesión \(1,1,2,2,3,3,\dots\) es creciente. El segundo es pensar que el primer término decide el sentido: si \(a_1=-4\) y \(a_{n+1}=\frac{a_n}2\), los términos son negativos y la sucesión crece hacia \(0\). Tampoco hay que confundir monótona con acotada: \(a_n=n\) es monótona y no acotada, y \((-1)^n\) es acotada y no monótona.

La suma de sucesiones crecientes es creciente, pero el producto, la diferencia y el cociente no tienen por qué serlo. Mientras que una sucesión que no es monótona puede converger (como \(\frac{(-1)^n}{n}\)), la monotonía da un criterio muy fuerte de convergencia en el siguiente concepto: el teorema de convergencia monótona.