Aplicaciones de la derivada · Definición

Regla de L'Hôpital

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Antes de empezar necesitas conocer

La regla de L'Hôpital te permite calcular límites indeterminados derivando numerador y denominador, sin simplificar la expresión original.

Definición

Regla que calcula límites de cocientes en forma indeterminada \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\) derivando numerador y denominador por separado.

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

Para formas indeterminadas \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\), la regla de L’Hôpital dice que se pueden derivar numerador y denominador por separado: \(\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}\), si este último existe.

Ejemplo guía: en \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\) hay 0/0; al derivar queda \(\frac{\cos x}{1}\), y en \(x=0\) el límite vale \(1\).

No es la regla del cociente: no se deriva el cociente, sino cada parte por su lado. Y solo se aplica cuando la forma es realmente indeterminada.

Para pensar

Calcula \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\) con L’Hôpital.

Es 0/0; derivando, \(\frac{\cos x}{1}\to1\).

¿Por qué no se deriva el cociente \(f/g\) con la regla del cociente?

La regla de L'Hôpital deriva numerador y denominador por separado; derivar el cociente completo da otra expresión y cambia el límite.

Ejercicios 20

Calcula los siguientes límites

  1. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{- x + e^{x} - 1}{x^{2}}\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\,\frac{\ln{\left(x \right)}}{x}\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{x - \sin {x}}{x^{3}}\)
  4. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{e^{2 x} - 1}{3 x}\)
  5. \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\,x^{2} e^{- x}\)
  6. \(\displaystyle \lim_{x\to 1}\,\frac{\ln{\left(x \right)}}{x - 1}\)
  7. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\)
  8. \(\displaystyle \lim_{x\to 2}\,\frac{x^{2} - 4}{x - 2}\)
  9. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{1 - \cos{x}}{x^{2}}\)
  10. \(\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\,x\ln{\left(x \right)}\)
  11. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}\)
  12. \(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\)
  13. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)
  14. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}\)
  15. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}x^2e^{-x}\)
  16. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}\)
  17. \(\displaystyle \lim_{x\to0^+}x\ln x\)
  18. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x^3}\)

Problemas

  1. Un estudiante aplica L'Hôpital a \(\lim_{x\to0}\frac{x+1}{x+2}\) y obtiene \(1\). ¿Qué falló?
  2. Sea \(\displaystyle L=\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x}\). Con \(f=x+\sin x\), \(g=x\), el cociente \(\frac{f'}{g'}=1+\cos x\). ¿Qué es cierto?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.
  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §5.3, Teoremas 5.3.5 y 5.3.6
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 5, Teorema 5.13
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §6.3, Teoremas 6.3.3 y 6.3.4