Integración y series · Definición

Criterio de comparación

análisis realseries

Antes de empezar necesitas conocer

Convierte una serie desconocida en un problema ya resuelto: si queda atrapada debajo de una serie que converge, también converge.

Definición

Criterio que decide si una serie \(\sum a_n\) de términos no negativos converge comparándola con otra serie \(\sum b_n\) tal que \(a_n\le b_n\).

\[0\le a_n\le b_n\ \Longrightarrow\ \Big(\sum b_n\text{ converge}\Rightarrow\sum a_n\text{ converge}\Big)\]

La idea es que, con términos no negativos, las sumas parciales solo pueden crecer. Si \(0\le a_n\le b_n\) y \(\sum b_n\) converge, las sumas parciales de \(\sum a_n\) son crecientes y están acotadas por la suma de \(\sum b_n\); por el teorema de convergencia monótona convergen. Esa es toda la demostración.

La contrapositiva es igual de útil: si \(\sum a_n\) diverge, entonces \(\sum b_n\) diverge. Así, \(\frac1{n^2+1}\le\frac1{n^2}\) da convergencia, y \(\frac1{2n}\le\frac1{n+1}\) da divergencia. Las series de referencia habituales son la geométrica, la armónica \(\sum\frac1n\) (que diverge) y \(\sum\frac1{n^2}\) (que converge).

Cuando la desigualdad es incómoda, se usa la versión del límite: si \(a_n,b_n>0\) y \(\frac{a_n}{b_n}\to L\) con \(0<L<\infty\), ambas series convergen o ambas divergen. Por ejemplo, \(\frac{2n+1}{n^3+4}\) se comporta como \(\frac1{n^2}\), con \(L=2\).

Los errores típicos son comparar en la dirección equivocada (estar por encima de una serie convergente no dice nada) y olvidar que los términos deben ser no negativos. Este criterio es la herramienta de partida para la convergencia absoluta, donde se compara \(\sum|a_n|\) con una serie conocida.

Para pensar

Si \(a_n\ge b_n\ge0\) y \(\sum b_n\) converge, ¿qué se concluye de \(\sum a_n\)?

Nada: estar por encima de una serie convergente no obliga a converger.

¿Por qué se exige \(a_n\ge0\)?

Con términos no negativos las sumas parciales son crecientes, y solo hace falta acotarlas; con signos variables podrían oscilar.

Ejercicios 10

  1. Sabiendo que \(\sum\frac1{n^2}\) converge, ¿cuál serie converge por comparación directa con ella?
  2. Para probar que \(\sum\frac1{n+1}\) diverge, ¿con qué \(b_n\) de una serie divergente se compara, de modo que \(0\le b_n\le\frac1{n+1}\) para \(n\ge1\)?
  3. Se sabe que \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n}=1\). Como \(\frac1{2^n+n}\le\frac1{2^n}\), ¿qué cota superior para \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n+n}\) da directamente la comparación?
  4. Si \(0\le b_n\le a_n\) para todo \(n\) y \(\sum b_n\) diverge, ¿qué ocurre con \(\sum a_n\)?
  5. Como \(-\frac1n\le\frac1{n^2}\) y \(\sum\frac1{n^2}\) converge, ¿se concluye que \(\sum\left(-\frac1n\right)\) converge?
  6. Sean \(a_n=\dfrac{2n+1}{n^3+4}\) y \(b_n=\dfrac1{n^2}\). Calcula \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\). (Si el límite es finito y positivo, ambas series se comportan igual.)
  7. Para \(a_n=\dfrac{2+\cos n}{3^n}\) se cumple \(0\le a_n\le b_n\) con \(b_n=\dfrac{3}{3^n}\). ¿Cuánto vale \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\), cota superior de \(\sum a_n\)?
  8. ¿Qué comparación prueba correctamente que \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{3^n-1}\) converge?
  9. Sea \(a_n\ge0\) con \(\sum a_n\) convergente. ¿Qué se puede decir de \(\sum a_n^2\)?
  10. Usando \(n!\ge2^{n-1}\) para \(n\ge1\), ¿qué cota superior para \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}\) resulta de sumar la geométrica \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^{n-1}}\)?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §2.7, Teorema 2.7.4
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 3, Teorema 3.25
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §3.7