Convergencia absoluta

El hecho central es que la convergencia absoluta implica la convergencia. Si \(\sum|a_n|\) converge, sus sumas parciales forman una sucesión de Cauchy, y la desigualdad triangular \(|a_{m+1}+\dots+a_n|\le|a_{m+1}|+\dots+|a_n|\) hace de Cauchy también a las sumas parciales de \(\sum a_n\). Por la completitud de \(\mathbb R\), la serie converge, y además \(\left|\sum a_n\right|\le\sum|a_n|\).

El recíproco es falso. La serie armónica alternada \(\sum(-1)^{n+1}/n\) converge (a \(\ln 2\)), pero \(\sum 1/n\) diverge. Una serie que converge sin converger absolutamente se llama condicionalmente convergente; su valor depende de una cancelación delicada entre términos positivos y negativos.

Para decidir la convergencia absoluta se aplica a \(\sum|a_n|\) cualquier criterio de series de términos no negativos, sobre todo el de comparación: si \(|a_n|\le b_n\) y \(\sum b_n\) converge, entonces \(\sum a_n\) converge absolutamente. Así, \(\sum \operatorname{sen}(n)/n^2\) converge absolutamente porque \(|\operatorname{sen} n|/n^2\le1/n^2\).

La diferencia entre ambos tipos de convergencia es profunda. En una serie absolutamente convergente se pueden reordenar los términos sin alterar la suma; en una condicionalmente convergente, el teorema de Riemann afirma que un reordenamiento adecuado produce cualquier suma prevista, o incluso divergencia. Por eso la convergencia absoluta es la noción natural cuando se manipulan series.