Supremo e ínfimo

Un conjunto \(S\) está acotado superiormente si existe \(M\) con \(s\le M\) para todo \(s\in S\); cada tal \(M\) es una cota superior. El supremo \(\sup S\) es la menor de ellas. Si \(\sup S\in S\), entonces es el máximo; pero \((0,1)\) tiene supremo \(1\) y no tiene máximo.

Una forma práctica de reconocer el supremo: \(M=\sup S\) si y solo si \(M\) es cota superior y, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(s\in S\) con \(s>M-\varepsilon\). Es decir, ninguna cota menor sirve. El caso del ínfimo es simétrico, y vale \(\inf S=-\sup(-S)\).

Ejemplos guía: \(\sup\{1-1/n\}=1\) sin pertenecer al conjunto, \(\inf\{1/n\}=0\), y \(\sup\{x:x^2<2\}=\sqrt2\). Este último ya muestra por qué \(\mathbb Q\) no basta: en \(\mathbb Q\) ese conjunto tiene cotas superiores pero ninguna es la menor.

Si \(S\subseteq T\), entonces \(\sup S\le\sup T\), y el supremo de una unión es el mayor de los supremos. Que todo conjunto no vacío acotado superiormente tenga supremo es justamente el axioma de completitud, tema del siguiente concepto.