Números reales · Definición

Valor absoluto

análisis realnúmeros reales

Antes de empezar necesitas conocer

Casi toda definición de análisis dice «está cerca de»; el valor absoluto convierte esa frase en una desigualdad que se puede manipular.

Definición

El valor absoluto \(|x|\) de un número real \(x\) es su distancia al cero en la recta real; \(|x-a|\) mide la distancia entre \(x\) y \(a\).

\[|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x,&x<0\end{cases}\]

Se define por casos: \(|x|=x\) si \(x\ge0\) y \(|x|=-x\) si \(x<0\). De ahí salen las propiedades básicas: \(|x|\ge0\), \(|x|=0\) solo si \(x=0\), \(|xy|=|x||y|\) y \(-|x|\le x\le|x|\). Una caja de herramientas frecuente es que \(|x|<c\) equivale a \(-c<x<c\), y que \(|x-a|<\varepsilon\) equivale a \(a-\varepsilon<x<a+\varepsilon\): los puntos a distancia menor que \(\varepsilon\) de \(a\).

La propiedad central es la desigualdad del triángulo, \(|x+y|\le|x|+|y|\). Se demuestra sumando \(-|x|\le x\le|x|\) y \(-|y|\le y\le|y|\). Una consecuencia útil es la versión inversa, \(\big||x|-|y|\big|\le|x-y|\), que sirve para acotar por debajo.

Con ejemplo: si \(|x|=3\) y \(|y|=4\), entonces \(|x+y|\) puede valer entre \(1\) y \(7\); el máximo se da cuando ambos tienen el mismo signo. El error típico es escribir \(|x+y|=|x|+|y|\) o \(|x-y|=|x|-|y|\); ambas fallan en general.

Otro uso constante: si \(|x|<\varepsilon\) para todo \(\varepsilon>0\), entonces \(x=0\). Este argumento aparece al probar que un límite es único. El valor absoluto da la distancia \(d(x,y)=|x-y|\) que permitirá definir sucesiones convergentes.

Para pensar

Demuestra que \(|x-z|\le|x-y|+|y-z|\).

Escribe \(x-z=(x-y)+(y-z)\) y aplica la desigualdad del triángulo a esos dos sumandos.

¿Para qué \(x\) vale \(|x-3|=|x+1|\)?

Solo para \(x=1\), el punto equidistante de \(3\) y \(-1\).

Ejercicios 10

  1. Calcula \(|-7.5|\).
  2. Calcula \(|3-8|+|-2|\).
  3. Resuelve \(|x-2|=5\).
  4. La desigualdad \(|x-4|<2\) equivale a:
  5. ¿Cuál igualdad vale para todos los reales \(x,y\)?
  6. Resuelve \(|2x-1|\le5\).
  7. Si \(|x|=3\) y \(|y|=4\), ¿cuál es el mayor valor posible de \(|x+y|\)?
  8. Si \(|x|=5\) y \(|y|=2\), ¿cuál es el menor valor posible de \(|x-y|\)?
  9. Si \(|x|<\varepsilon\) para todo \(\varepsilon>0\), entonces:
  10. El conjunto de soluciones de \(|x-1|+|x+1|=2\) es:

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §1.2
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 1, 1.33
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §2.2