Sucesiones · Definición

Teorema de convergencia monótona

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Antes de empezar necesitas conocer

Es la primera herramienta para probar que un límite existe sin conocer su valor, y se apoya directamente en la completitud de \(\mathbb R\).

Definición

Toda sucesión real \((a_n)\), con índice \(n\) en los naturales \(\mathbb N\), que es monótona y acotada converge a un número real.

\[a_n\ \text{creciente y acotada}\ \Rightarrow\ \lim a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}\]

La idea de la prueba para una sucesión creciente y acotada superiormente es la siguiente. El conjunto \(\{a_n\}\) no es vacío y tiene cota superior, así que por el axioma de completitud existe \(s=\sup\{a_n\}\). Dado \(\varepsilon>0\), el número \(s-\varepsilon\) no es cota superior, luego existe \(N\) con \(a_N>s-\varepsilon\). Por crecer la sucesión, para \(n\ge N\) vale \(s-\varepsilon<a_N\le a_n\le s\), es decir \(|a_n-s|<\varepsilon\).

El caso decreciente se reduce al anterior aplicándolo a \(-a_n\): una sucesión decreciente y acotada inferiormente converge a su ínfimo. Así, el límite de una sucesión monótona acotada se identifica siempre con un supremo o un ínfimo, aunque calcularlo pueda requerir otra técnica.

Una aplicación típica son las sucesiones recursivas. Si \(a_1=\sqrt2\) y \(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\), se prueba por inducción que \(a_n<2\) y \(a_n<a_{n+1}\); el teorema asegura que converge a algún \(L\), y pasando al límite en la recurrencia queda \(L^2=L+2\), de donde \(L=2\). El orden importa: primero se demuestra que el límite existe y solo después se resuelve la ecuación.

Las dos hipótesis son necesarias. \(a_n=n\) es monótona sin cota y diverge; \((-1)^n\) es acotada sin ser monótona y diverge. Además el teorema no es válido en \(\mathbb Q\): una sucesión creciente de racionales acotada por \(\sqrt2\) puede no converger en \(\mathbb Q\), pues su supremo es irracional. Esa diferencia es justo la completitud.

Para pensar

¿Por qué el teorema no es cierto si trabajamos solo con números racionales?

Porque \(\mathbb Q\) no cumple el axioma de completitud: los truncamientos decimales de \(\sqrt2\) forman una sucesión creciente y acotada de racionales cuyo supremo, \(\sqrt2\), no es racional.

Si una sucesión creciente converge a \(L\), ¿puede algún término ser mayor que \(L\)?

No: \(L\) es el supremo de los términos, así que \(a_n\le L\) para todo \(n\).

Ejercicios 10

  1. La sucesión \(a_n=1-\frac1n\) es creciente y está acotada superiormente por 1. ¿A qué converge?
  2. La sucesión \(a_n=\frac1{n^2}\) es decreciente y positiva. ¿A qué converge?
  3. La sucesión \(a_n=n\) es creciente, pero no converge. ¿Qué hipótesis del teorema falla?
  4. La sucesión \(a_n=(-1)^n\) está acotada y no converge. ¿Por qué no contradice el teorema?
  5. Sea \(a_1=\sqrt2\) y \(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\), creciente y acotada por 2. Si converge a \(L\), ¿cuánto vale \(L\)?
  6. Sea \(a_1=0\) y \(a_{n+1}=\frac{a_n}{3}+2\), creciente y acotada por 3. ¿Cuál es su límite?
  7. Una sucesión creciente cumple \(a_n\le7\) para todo \(n\) y converge a \(L\). ¿Qué se concluye?
  8. Una sucesión decreciente y acotada inferiormente converge a:
  9. ¿Cuál de estas afirmaciones es FALSA?
  10. Sea \(a_n=\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}\), creciente y con \(a_n<3\) para todo \(n\). ¿Qué se concluye?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §2.4, Teorema 2.4.2
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 3, Teorema 3.14
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §3.3, Teorema 3.3.2