Integración y series · Definición

Serie numérica

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Antes de empezar necesitas conocer

Da sentido a sumar infinitos números: en vez de sumar de golpe, se estudia el límite de las sumas finitas que se van acumulando.

Definición

Una serie es la sucesión de sumas parciales \(s_N\) de una sucesión de términos \(a_n\); converge si \(s_N\) tiene límite finito, y ese límite es su suma.

\[s_N=\sum_{n=1}^{N}a_n,\qquad \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{N\to\infty}s_N\]

Sumar infinitos términos no es una operación aritmética, sino un límite. Se forman las sumas parciales \(s_1=a_1,\ s_2=a_1+a_2,\ \dots\) y se pregunta si esa sucesión converge. Todo lo que ya sabes de sucesiones se traduce: la serie converge exactamente cuando \((s_N)\) converge, y su suma es el límite.

Dos familias sirven de ejemplo guía. La geométrica \(\sum_{n=0}^{\infty}r^n\) converge a \(\frac1{1-r}\) si \(|r|<1\) y diverge si \(|r|\ge1\). Las telescópicas, como \(\sum\frac1{n(n+1)}\), se calculan reescribiendo cada término como diferencia, de modo que casi todo se cancela y \(s_N=1-\frac1{N+1}\to1\).

Una condición necesaria: si \(\sum a_n\) converge, entonces \(a_n=s_n-s_{n-1}\to0\). Es solo necesaria. La serie armónica \(\sum\frac1n\) tiene término que tiende a cero y aun así diverge, porque sus sumas parciales crecen sin cota. Concluir convergencia solo porque \(a_n\to0\) es el error más frecuente.

Como la convergencia es la de una sucesión, también hay versión de Cauchy: \(\sum a_n\) converge si y solo si los bloques \(a_{m+1}+\dots+a_n\) se hacen pequeños. Los criterios siguientes (comparación, convergencia absoluta) son maneras prácticas de decidir esto sin calcular la suma.

Para pensar

Si \(a_n\to0\), ¿puede divergir \(\sum a_n\)? Da un ejemplo.

Sí: en \(\sum\frac1n\) el término tiende a cero, pero las sumas parciales crecen sin cota.

¿Para qué valores de \(r\) converge \(\sum_{n=0}^{\infty}r^n\)?

Para \(|r|<1\), con suma \(\frac1{1-r}\); en otro caso el término no tiende a cero.

Ejercicios 10

  1. Calcula \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac12\right)^n\).
  2. Calcula \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\).
  3. Para la serie \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}\), calcula la suma parcial \(s_3\).
  4. ¿Qué ocurre con \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\)?
  5. ¿Cuál de estas series diverge porque su término general no tiende a cero?
  6. Calcula \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{4^n}\).
  7. Calcula \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}\).
  8. Calcula \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\tfrac23\right)^n\).
  9. Las sumas parciales de una serie son \(s_N=\dfrac{2N}{N+1}\). ¿Cuánto vale el término \(a_3\)?
  10. ¿Cuál afirmación sobre \(\sum a_n\) es verdadera?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §2.7
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 3, series
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §3.7