Números reales · Definición

Cuerpo ordenado

análisis realnúmeros reales

Antes de hablar de límites hace falta un escenario donde sumar, multiplicar y comparar se comporten como esperamos; el cuerpo ordenado fija esas reglas.

Definición

Un cuerpo ordenado es un cuerpo \(F\) con una relación de orden total \(<\) compatible con la suma y con el producto por elementos positivos.

\[a0\Rightarrow ac

De los axiomas se deducen las reglas habituales de las desigualdades. Se cumple la tricotomía (para cada par \(a,b\) vale exactamente una de \(a<b\), \(a=b\), \(a>b\)), se puede sumar el mismo elemento a ambos lados y se puede multiplicar por un positivo. Multiplicar por un negativo invierte el sentido: de \(-3<2\) se obtiene \(12>-8\) al multiplicar por \(-4\).

Un resultado básico es que \(a^2\ge0\) para todo \(a\), y por tanto \(1=1^2>0\). Esto tiene consecuencias fuertes: \(\mathbb C\) no puede ordenarse porque \(i^2=-1<0\), y ningún cuerpo finito \(\mathbb Z/p\) puede hacerlo, pues la suma \(1+\cdots+1\) de \(p\) términos sería positiva y vale \(0\).

Los números racionales \(\mathbb Q\) y los reales \(\mathbb R\) son cuerpos ordenados, y también \(\mathbb Q(\sqrt2)\). Por eso las propiedades de orden no distinguen a \(\mathbb R\) de \(\mathbb Q\): lo que los separa es la completitud, que se introduce con el supremo y el axioma de completitud.

Un error común es usar sin cuidado \(a<b\Rightarrow a^2<b^2\); solo vale si \(0\le a<b\). Con \(-3<2\) falla, pues \(9>4\).

Para pensar

Demuestra que en un cuerpo ordenado, si \(a>0\), entonces \(1/a>0\).

Si \(1/a<0\), multiplicar por \(a>0\) daría \(1<0\), lo que contradice \(1>0\). Como \(1/a\ne0\), debe ser \(1/a>0\).

¿Existe un cuerpo ordenado con exactamente 3 elementos?

No: en \(\mathbb Z/3\) se tendría \(1+1+1=0\), pero en un cuerpo ordenado esa suma es positiva.

Ejercicios 10

  1. Si \(a<b\) y \(c<0\) en un cuerpo ordenado, ¿qué se cumple?
  2. ¿Cuál de estos conjuntos, con las operaciones y el orden usuales, no es un cuerpo ordenado?
  3. ¿Qué afirmación es verdadera en todo cuerpo ordenado \(F\)?
  4. Si \(a<b\) en un cuerpo ordenado, ¿cuál desigualdad se deduce?
  5. Multiplica la desigualdad \(-3<2\) por \(-4\). ¿Qué resulta?
  6. Si \(0<a<b\), ¿cuál es verdadera?
  7. Para \(a,b\) en un cuerpo ordenado, ¿cuántas de \(a<b\), \(a=b\), \(a>b\) son verdaderas?
  8. Si \(0<a<b\) en un cuerpo ordenado, ¿cómo se comparan \(a+b\) y \(2a\)?
  9. ¿Por qué el cuerpo finito \(\mathbb Z/p\) (\(p\) primo) no admite un orden de cuerpo ordenado?
  10. ¿Por qué \(\mathbb C\) no puede ser un cuerpo ordenado?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §1.2
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 1, 1.5–1.18
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §2.1