Integración y series · Definición

Convergencia uniforme

análisis realsucesiones de funciones

Antes de empezar necesitas conocer

Refuerza la convergencia puntual con una exigencia global: la rapidez de la aproximación no puede depender del punto, y por eso las propiedades de las \(f_n\) pasan al límite.

Definición

Una sucesión de funciones \(f_n\) converge uniformemente a \(f\) en un conjunto \(A\) si, para cada \(\varepsilon>0\), un mismo índice \(N\) sirve para todos los puntos de \(A\).

\[\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ n\ge N\Rightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\ \ \forall x\in A\]

En la convergencia puntual cada \(x\) tiene su propio \(N\), que puede crecer sin cota al variar \(x\). En la uniforme, un solo \(N\) sirve para todo \(A\). Una forma útil de verificarlo es la distancia máxima \(\|f_n-f\|_A=\sup_{x\in A}|f_n(x)-f(x)|\): hay convergencia uniforme si y solo si esa cantidad tiende a \(0\).

El ejemplo clásico es \(f_n(x)=x^n\) en \([0,1]\). Su límite puntual es \(0\) si \(x<1\) y \(1\) si \(x=1\), y \(\sup_{[0,1)}x^n=1\) para todo \(n\), de modo que la convergencia no es uniforme. En cambio, en \([0,a]\) con \(a<1\) el supremo es \(a^n\to0\) y la convergencia sí es uniforme. Otro caso instructivo es \(nxe^{-nx}\), que tiende a \(0\) puntualmente pero conserva un pico de altura \(1/e\) que se desliza hacia el origen.

La importancia del concepto está en lo que preserva. Si cada \(f_n\) es continua y \(f_n\to f\) uniformemente, entonces \(f\) es continua; la prueba usa un argumento de tres \(\varepsilon\): \(|f(x)-f(y)|\le|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(y)|+|f_n(y)-f(y)|\). Esto explica también por qué \(x^n\) no puede converger uniformemente en \([0,1]\): su límite no es continuo.

Además, el criterio de Cauchy tiene versión uniforme: \((f_n)\) converge uniformemente en \(A\) si y solo si \(\sup_A|f_m-f_n|\to0\) cuando \(m,n\to\infty\). Con ella se prueba la convergencia sin conocer el límite, y es la herramienta que permite intercambiar límites con integrales y con series de funciones.

Para pensar

¿Por qué la convergencia uniforme es equivalente a que \(\sup_A|f_n-f|\to0\)?

Que un mismo \(N\) cumpla \(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\) para todo \(x\in A\) significa que \(\sup_A|f_n-f|\le\varepsilon\) cuando \(n\ge N\); es exactamente la definición de que el supremo tienda a \(0\).

¿Puede una sucesión de funciones continuas converger puntualmente a una función discontinua?

Sí, por ejemplo \(x^n\) en \([0,1]\); por el teorema del límite uniforme, esa convergencia no puede ser uniforme.

Ejercicios 10

  1. Calcula \(\sup_{x\in[0,1]}\left|\frac{x}{n}-0\right|\).
  2. Sea \(f_n(x)=x^n\) en \([0,1]\). Si \(f\) es su límite puntual, ¿cuánto vale \(f(1)\)?
  3. Calcula \(\sup_{x\in[0,1)}|x^n-0|\).
  4. ¿En cuál de estos conjuntos converge \(x^n\) uniformemente a \(0\)?
  5. Sea \(f_n(x)=\frac{\operatorname{sen}(nx)}{n}\) en \(\mathbb R\). ¿Qué ocurre?
  6. Las \(f_n\) son continuas en \(A\) y \(f_n\to f\) uniformemente en \(A\). Entonces \(f\)…
  7. ¿Por qué \(x^n\) no converge uniformemente en \([0,1]\)?
  8. Calcula \(\sup_{x\ge0}\frac{x}{1+nx}\).
  9. Sea \(f_n(x)=x^n(1-x)\) en \([0,1]\), con límite puntual \(0\). ¿Converge uniformemente?
  10. Sea \(f_n(x)=nxe^{-nx}\) en \([0,1]\), con límite puntual \(0\). ¿Converge uniformemente a \(0\)?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §6.2, Definición 6.2.1
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 7, Definición 7.7
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §8.1, Definición 8.1.4