Números reales · Definición

Propiedad arquimediana

análisis realnúmeros reales

Antes de empezar necesitas conocer

Asegura que no hay números infinitamente grandes ni infinitamente pequeños en \(\mathbb R\), requisito silencioso de todo argumento con límites.

Definición

Propiedad de \(\mathbb R\) según la cual, por pequeño que sea un número positivo \(x\), algún múltiplo suyo por un natural \(n\in\mathbb N\) supera a cualquier real \(y\).

\[x>0,\ y\in\mathbb R\ \Longrightarrow\ \exists\, n\in\mathbb N:\ nx>y\]

Tomando \(x=1\) se obtiene la forma más conocida: para todo real \(y\) existe un natural \(n>y\), es decir, \(\mathbb N\) no está acotado superiormente. Tomando \(y=1\) resulta la forma útil en límites: para todo \(\varepsilon>0\) existe \(n\) con \(1/n<\varepsilon\).

No sale de los axiomas de cuerpo ordenado: existen cuerpos ordenados no arquimedianos, como el de las funciones racionales con el orden «\(t\) es mayor que cualquier constante». Se demuestra con la completitud: si \(\mathbb N\) estuviera acotado tendría supremo \(s\), pero \(s-1\) no sería cota, luego habría \(n>s-1\) y por tanto \(n+1>s\), absurdo.

Consecuencias inmediatas: \(\inf\{1/n\}=0\); si \(0\le x<1/n\) para todo \(n\), entonces \(x=0\); y para todo real hay un entero que lo supera, lo que permite definir la parte entera. Es también el ingrediente que da sentido al primer límite del curso, \(1/n\to0\).

Error típico: pensar que «infinito» es un número mayor que todos. La propiedad arquimediana dice lo contrario: ningún real es mayor que todos los naturales, y por eso el símbolo \(\infty\) nunca es un elemento de \(\mathbb R\).

Para pensar

¿Existe un real positivo menor que \(1/n\) para todo natural \(n\)?

No: si existiera, el cociente \(1/x\) sería una cota superior de \(\mathbb N\), contra la propiedad arquimediana.

¿La propiedad arquimediana se cumple en \(\mathbb Q\)?

Sí: para racionales \(x>0\) e \(y\) basta tomar un natural mayor que \(y/x\). Lo que falla en \(\mathbb Q\) es la completitud, no esta propiedad.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué afirma la propiedad arquimediana?
  2. ¿Cuál es el menor natural \(n\) con \(\tfrac1n<0.003\)?
  3. Según la propiedad arquimediana, ¿cuál es el ínfimo del conjunto \(\{1/n: n\in\mathbb N\}\)?
  4. Si \(x=0.002\) y \(y=5\), ¿cuál es el menor natural \(n\) con \(nx>y\)?
  5. ¿Cuál de estas afirmaciones equivale a la propiedad arquimediana?
  6. ¿Cuál es el menor natural \(n\) con \(\dfrac{n}{n+1}>0.999\)?
  7. En un cuerpo ordenado existe \(\varepsilon>0\) con \(\varepsilon<\tfrac1n\) para todo natural \(n\). ¿Qué propiedad falla?
  8. Para \(x=\tfrac37\) y \(y=100\), ¿cuál es el menor natural \(n\) con \(nx>y\)?
  9. ¿Cuál es la idea correcta para demostrar la propiedad arquimediana con el axioma de completitud?
  10. Si \(x\ge0\) y \(x<\tfrac1n\) para todo natural \(n\), ¿qué se concluye?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §1.4
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 1, 1.20
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §2.4