Transformada de Laplace · Definición

Transformada de una derivada

ecuaciones diferencialestransformada de Laplace

Antes de empezar necesitas conocer

Es la regla que permite usar la transformada de Laplace en ecuaciones diferenciales: la derivada se vuelve una multiplicación por \(s\).

Definición

La transformada de Laplace \(\mathcal L\) de la derivada \(f'\) de una función \(f(t)\) con transformada \(F(s)\) es una expresión en \(F(s)\) y en el valor inicial \(f(0)\).

\[\mathcal L\{f'\}(s)=sF(s)-f(0)\]

La regla sale de integrar por partes: \(\int_0^\infty e^{-st}f'(t)\,dt=\big[e^{-st}f(t)\big]_0^\infty+s\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt\). Como \(f\) es de orden exponencial, el término evaluado en infinito se anula para \(s\) grande y solo queda el de \(t=0\), con signo negativo, de ahí \(-f(0)\).

Aplicando la regla dos veces se obtiene \(\mathcal L\{f''\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\), y en general \(\mathcal L\{f^{(n)}\}=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\). Cada derivada añade un factor \(s\) y consume una condición inicial; por eso el método pide exactamente los datos de un problema de valor inicial.

Ejemplo guía: en \(y'+2y=0\), \(y(0)=3\), se transforma término a término y queda \(sY-3+2Y=0\). La ecuación diferencial se convirtió en una ecuación algebraica en \(Y(s)\): \(Y=3/(s+2)\). Falta regresar a \(y(t)\) con la transformada inversa, que es el siguiente paso del método.

Un error típico es olvidar el valor inicial o ponerle el signo equivocado. Otro, creer que \(\mathcal L\{f'\}\) es simplemente \(sF(s)\): solo lo es cuando \(f(0)=0\), como ocurre con \(f(t)=t^2\).

Para pensar

¿Por qué no hace falta una solución general antes de aplicar condiciones iniciales?

Porque \(f(0)\) y \(f'(0)\) aparecen directamente en la transformada de las derivadas: los datos iniciales entran desde el primer paso y la solución obtenida ya los cumple.

Si \(f(0)=0\), ¿qué le hace derivar a \(f\) en el lado de \(s\)?

Derivar equivale a multiplicar la transformada por \(s\): \(\mathcal L\{f'\}=sF(s)\).

Ejercicios 10

  1. Si \(f(t)=e^{3t}\), entonces \(F(s)=\dfrac1{s-3}\) y \(f(0)=1\). ¿Cuánto vale \(\mathcal L\{f'\}\)?
  2. ¿Cuál es la fórmula correcta para \(\mathcal L\{f''\}\)?
  3. Para \(f(t)=\sin t\) se tiene \(F(s)=\dfrac1{s^2+1}\) y \(f(0)=0\). ¿Cuánto vale \(\mathcal L\{f'\}\)?
  4. Al transformar \(y'+2y=0\), \(y(0)=3\), ¿qué se obtiene para \(Y(s)=\mathcal L\{y\}\)?
  5. Al transformar \(y'+y=1\), \(y(0)=0\), ¿qué \(Y(s)\) resulta?
  6. Al transformar \(y''+4y=0\), \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\), ¿qué \(Y(s)\) resulta?
  7. Sea \(f(t)=t^2\). Usando la regla de la derivada con \(F(s)=2/s^3\), ¿cuánto vale \(\mathcal L\{f'\}\)?
  8. Al transformar \(y'+3y=e^{-t}\), \(y(0)=1\), ¿qué \(Y(s)\) resulta?
  9. Al transformar \(y''-3y'+2y=0\), \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\), ¿qué \(Y(s)\) resulta?
  10. Se sabe que \(\mathcal L\{f''\}=s^2F(s)-2s+3\). ¿Cuáles son \(f(0)\) y \(f'(0)\)?

Referencias

  • William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 12th edition, Wiley, 2021. §6.2
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th edition, Cengage, 2018. §7.2