Oscilador armónico

Por la ley de Hooke, un resorte ejerce la fuerza \(-ky\) sobre la masa, y por la segunda ley de Newton \(my''=-ky\). Dividir entre \(m\) da \(y''+\omega^2y=0\) con \(\omega^2=k/m\). La ecuación característica \(r^2+\omega^2=0\) tiene raíces \(\pm i\omega\), de modo que \(y=c_1\cos\omega t+c_2\sin\omega t\), que también se escribe \(y=A\cos(\omega t-\varphi)\) con amplitud \(A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}\) y fase \(\varphi\).

El periodo es \(T=2\pi/\omega=2\pi\sqrt{m/k}\) y la frecuencia es \(f=1/T\) ciclos por unidad de tiempo. Una masa mayor oscila más despacio; un resorte más rígido, más rápido. Lo notable es que \(T\) no depende de la amplitud: las condiciones iniciales \(y(0)\) y \(y'(0)\) solo fijan \(c_1=y(0)\) y \(c_2=y'(0)/\omega\), es decir, cuánto se oscila y con qué fase, pero no qué tan rápido.

Cuando el resorte cuelga en vertical, el equilibrio está en el punto donde \(mg=kL\), con \(L\) el alargamiento; medir \(y\) desde ahí elimina el peso de la ecuación y deja \(\omega^2=g/L\). El modelo es una idealización: sin fricción la energía \(\tfrac12my'^2+\tfrac12ky^2\) se conserva y el movimiento dura para siempre. Añadir amortiguamiento y fuerza externa lleva a \(my''+cy'+ky=F(t)\), donde reaparecen la ecuación característica con otros discriminantes y los métodos de solución particular.