Ecuación lineal de segundo orden

Lo esencial es que \(y\), \(y'\) y \(y''\) aparecen solo a la primera potencia, multiplicadas por funciones de \(t\). Cuando \(g(t)=0\) la ecuación se llama homogénea; si \(g\neq0\), no homogénea, y \(g\) representa una fuerza o fuente externa. La clasificación importa porque casi todos los métodos del tema dependen de ella.

A diferencia del primer orden, la solución general lleva dos constantes arbitrarias, porque hay que integrar dos veces. Para fijarlas se piden dos condiciones, por ejemplo el valor de \(y\) y de \(y'\) en un instante \(t_0\). Si \(p\), \(q\) y \(g\) son continuas en un intervalo, existe una única solución que las cumple.

Cuando \(p\) y \(q\) son constantes, se prueba \(y=e^{rt}\): al sustituir se obtiene el polinomio \(r^2+pr+q=0\), la ecuación característica, y cada raíz da una solución. Por ejemplo, \(y''-5y'+6y=0\) da \(r=2\) y \(r=3\), así que \(e^{2t}\) y \(e^{3t}\) son soluciones.

Un error frecuente es creer que cualquier función con dos derivadas «se parece» a una solución: hay que sustituir y comprobar que se anula el lado izquierdo menos el derecho. Otro es llamar lineal a \(y''+y^2=0\); el cuadrado de la incógnita la hace no lineal. Lo que sigue es ver cómo se combinan las soluciones de la versión homogénea.