Ecuaciones lineales de orden superior · Definición

Wronskiano

ecuaciones diferencialesorden superior

Antes de empezar necesitas conocer

Es la prueba que decide si dos soluciones bastan para describir todas las de una ecuación lineal homogénea de segundo orden.

Definición

El wronskiano \(W\) de dos funciones derivables \(y_1\) y \(y_2\) es el determinante de la matriz que forman ellas y sus primeras derivadas.

\[W(y_1,y_2)=\begin{vmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2'\end{vmatrix}=y_1y_2'-y_1'y_2\]

Dos funciones son linealmente dependientes cuando una es múltiplo de la otra. El wronskiano detecta eso con derivadas: si \(y_2=ky_1\), las dos columnas de la matriz son proporcionales y el determinante vale \(0\) en todo punto. Por ejemplo, \(W(e^t,2e^t)=0\), mientras que \(W(\cos t,\sin t)=1\).

Para funciones cualesquiera el recíproco falla: \(t^2\) y \(t|t|\) tienen wronskiano cero en todas partes y no son proporcionales. La situación cambia cuando \(y_1,y_2\) resuelven \(y''+py'+qy=0\) con \(p,q\) continuas. La fórmula de Abel establece que \(W(t)=W(t_0)\,e^{-\int_{t_0}^{t}p(s)\,ds}\), una exponencial que nunca se anula; por eso \(W\) es cero en todos los puntos o en ninguno.

En ese caso, si \(W\neq0\) en algún punto, \(y_1,y_2\) forman un conjunto fundamental: cualquier condición inicial \(y(t_0),y'(t_0)\) se puede ajustar con \(c_1y_1+c_2y_2\), y la solución general es exactamente esa combinación. Con \(e^{2t}\) y \(e^{3t}\), \(W=e^{5t}\neq0\), así que son una base de soluciones de \(y''-5y'+6y=0\). El siguiente paso es encontrar tales soluciones con la ecuación característica.

Para pensar

¿Puede el wronskiano de dos soluciones de \(y''+py'+qy=0\) valer \(0\) en \(t=1\) y \(5\) en \(t=2\)?

No. Por la fórmula de Abel, \(W\) es un múltiplo de una exponencial que nunca se anula, así que si es cero en un punto es cero en todos.

Ejercicios 10

  1. Calcula el wronskiano \(W(e^{2t},e^{3t})\).
  2. Calcula \(W(t,t^2)\).
  3. Calcula \(W(\cos t,\sin t)\).
  4. Calcula \(W(e^{t},2e^{t})\) e interpreta el resultado.
  5. Calcula \(W(e^{-t},te^{-t})\).
  6. Calcula \(W(\sin 2t,\cos 2t)\).
  7. Para \(t>0\), calcula \(W(t,\,t\ln t)\).
  8. Sean \(y_1,y_2\) soluciones de \(y''+py'+qy=0\), con \(p,q\) continuas, y supón que \(W(y_1,y_2)(t_0)\neq0\) en un punto \(t_0\). ¿Qué se concluye?
  9. Sean \(y_1,y_2\) soluciones de \(y''+py'+qy=0\) con \(p,q\) continuas, y \(W(y_1,y_2)(t_0)=0\) en algún \(t_0\). ¿Qué es cierto?
  10. Dos soluciones de \(y''+3y'+2y=0\) tienen \(W(0)=2\). ¿Cuánto vale \(W(t)\)?

Referencias

  • William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 12th edition, Wiley, 2021. §3.2
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th edition, Cengage, 2018. §4.1