Transformada inversa de Laplace

Si dos funciones continuas tienen la misma transformada, son iguales; por eso la inversa está bien definida y se puede leer de una tabla. Además es lineal: \(\mathcal L^{-1}\{\alpha F+\beta G\}=\alpha f+\beta g\), de modo que basta reconocer cada sumando.

Casi nunca \(F(s)\) aparece lista para la tabla. Los recursos habituales son las fracciones parciales, que separan un cociente de polinomios en términos como \(\frac{A}{s-a}\), y completar el cuadrado, que lleva \(s^2+2s+5\) a \((s+1)^2+4\) para reconocer \(e^{-t}\sin 2t\). Al ajustar numeradores recuerda que \(\sin bt\) necesita \(b\) arriba: \(\frac{3}{s^2+4}=\frac32\cdot\frac{2}{s^2+4}\).

Ejemplo guía: de \(Y(s)=\frac{s-3}{(s-1)(s-2)}=\frac{2}{s-1}-\frac{1}{s-2}\) se obtiene \(y(t)=2e^{t}-e^{2t}\), la solución del problema de valor inicial del que salió \(Y\). Los polos de \(Y\) en \(s=1\) y \(s=2\) son justamente los exponentes que aparecen.

Un error común es invertir mal el signo del exponente: \(\frac1{s+3}\) corresponde a \(e^{-3t}\), no a \(e^{3t}\). La inversa se define para \(t\ge0\), donde vive la transformada.