Modelos de primer orden · Definición

Modelo logístico

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Antes de empezar necesitas conocer

El crecimiento exponencial supone recursos ilimitados; el modelo logístico corrige eso con un freno que aparece cuando la población se acerca a lo que el entorno soporta.

Definición

Modelo de una población \(P\) con tasa intrínseca \(r>0\), capacidad de carga \(K>0\) y población inicial \(P_0\): crece casi exponencialmente al principio y se estabiliza en \(K\).

\[P'=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)\;\Longrightarrow\; P(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K}{P_0}-1\right)e^{-rt}}\]

El modelo parte de \(P'=rP\) y lo multiplica por el factor \(1-P/K\), que vale casi \(1\) cuando \(P\) es pequeña y se anula cuando \(P=K\). Es autónoma y separable: con fracciones parciales, \(\int\frac{dP}{P(1-P/K)}=\int r\,dt\) conduce a la fórmula \(P(t)=K\big/\big(1+(K/P_0-1)e^{-rt}\big)\).

Los equilibrios son \(P=0\) y \(P=K\). Si \(0<P_0<K\), la solución crece hacia \(K\); si \(P_0>K\), decrece hacia \(K\). Así, \(K\) atrae a toda población positiva y \(0\) la repele, de modo que \(K\) es el valor al que se estabiliza la población.

La curva en forma de S tiene su crecimiento más rápido en \(P=K/2\), donde \(P'=rK/4\) y la gráfica pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo. Cuando \(P\ll K\) se comporta como \(y'=ry\), y el tiempo que tarda en llegar a \(K/2\) es \(t=\ln(K/P_0-1)/r\).

Ejemplo guía: con \(r=0.5\), \(K=1000\) y \(P_0=100\) la población llega a \(500\) en \(t=2\ln9\approx4.4\). Un error típico es leer \(r\) como la tasa observada: la tasa real por individuo es \(r(1-P/K)\), que disminuye al crecer \(P\).

Para pensar

En \(P'=3P-P^2\), ¿cuánto valen \(r\) y \(K\)?

Se factoriza \(P'=3P\left(1-\tfrac P3\right)\): \(r=3\) y \(K=3\).

Ejercicios 10

  1. Halla los puntos de equilibrio de \(P'=0.5\,P\left(1-\frac{P}{100}\right)\).
  2. La ecuación \(P'=0.2\,P-0.002\,P^2\) es logística. ¿Cuánto vale su capacidad de carga \(K\)?
  3. En \(P'=0.03\,P\left(1-\frac{P}{500}\right)\), ¿cuáles son \(r\) y \(K\)?
  4. En el modelo logístico, si \(0<P<K\), ¿cómo evoluciona \(P\)?
  5. Para \(P'=0.4\,P\left(1-\frac{P}{200}\right)\), ¿con qué población es máxima la razón de crecimiento \(P'\)?
  6. Para \(P'=P\left(1-\frac{P}{10}\right)\) con \(P(0)=1\), la solución es \(P(t)=\dfrac{10}{1+9e^{-t}}\). ¿Cuánto vale \(P(\ln 9)\)?
  7. Con \(r=0.1\) y \(K=100\), una población \(P=300\) supera la capacidad de carga. ¿Cuánto vale \(P'\) en ese instante?
  8. Con \(r=\tfrac12\), \(K=1000\) y \(P_0=100\), ¿en qué instante \(P\) alcanza \(K/2\)?
  9. Dos poblaciones logísticas tienen los mismos \(r\) y \(K=100\), pero \(P_0=5\) y \(P_0=60\). ¿Qué ocurre a largo plazo?
  10. Para \(0<P<K\) se tiene \(P''=r\left(1-\tfrac{2P}{K}\right)P'\). ¿Cuándo es la gráfica de \(P(t)\) cóncava hacia arriba?

Referencias

  • William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 12th edition, Wiley, 2021. §2.5
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th edition, Cengage, 2018. §3.2
  • Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, 2nd edition, Westview Press, 2015. §2.3