Coeficientes indeterminados

La solución general de \(ay''+by'+cy=g(t)\) es \(y=y_h+y_p\): la solución de la homogénea más cualquier solución particular. Derivar un polinomio, una exponencial o un seno o coseno produce funciones del mismo tipo, así que si \(g\) es de esa clase se propone una \(y_p\) con la misma forma y coeficientes \(A_i\) sin determinar; al sustituir y comparar términos semejantes queda un sistema lineal para ellos. Para \(g=8t\) se propone \(At+B\); para \(g=10\sin t\), \(A\cos t+B\sin t\), porque la derivada de uno introduce al otro.

La excepción es la resonancia. Si la propuesta contiene un término que ya resuelve la homogénea, al sustituir da cero y no hay forma de igualar \(g\). El remedio es multiplicar por \(t^{s}\), donde \(s\) es la multiplicidad de \(k\) (o de \(k\pm i\beta\)) como raíz de la ecuación característica. Para \(y''-2y'-3y=e^{3t}\), con raíces \(3\) y \(-1\), se propone \(Ate^{3t}\) y resulta \(A=\tfrac14\); para una raíz doble hace falta \(t^2\).

Cuando \(g\) es una suma, se resuelve por separado cada término y se suman las soluciones particulares (superposición). El método no sirve para \(\tan t\), \(\ln t\) o \(1/t\), cuyas derivadas generan funciones nuevas sin parar; ahí se usa la variación de parámetros. La condición inicial se impone al final, sobre \(y=y_h+y_p\), nunca sobre \(y_p\) sola.