Modelos de primer orden · Definición

Crecimiento y decaimiento exponencial

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Antes de empezar necesitas conocer

Cuando una población, un capital o una muestra radiactiva cambia en proporción a lo que ya hay, aparece la ecuación diferencial más sencilla del modelado.

Definición

Una cantidad \(y\) con valor inicial \(y_0\) crece o decae exponencialmente cuando su razón de cambio es proporcional a ella misma, con constante \(k\): crece si \(k>0\), decae si \(k<0\).

\[y'=ky\;\Longrightarrow\; y(t)=y_0\,e^{kt}\]

La ecuación \(y'=ky\) es separable: \(\int dy/y=\int k\,dt\) da \(\ln|y|=kt+c\), y con \(y(0)=y_0\) se obtiene \(y(t)=y_0e^{kt}\). El signo de \(k\) decide todo: con \(k>0\) la cantidad crece cada vez más rápido; con \(k<0\) decae hacia \(0\) sin alcanzarlo. Además \(y=0\) es el único equilibrio.

Dos cantidades describen el ritmo sin dar \(k\). El tiempo de duplicación es \(t_d=\ln2/k\) cuando \(k>0\), y la vida media es \(t_{1/2}=\ln2/|k|\) cuando \(k<0\); ninguna depende de \(y_0\). Por eso una muestra radiactiva pierde la mitad en cada periodo igual, sin importar cuánta haya.

Ejemplo guía: si una población de \(100\) se duplica en \(2\) horas, entonces \(k=\ln2/2\) y a las \(6\) horas hay \(100\cdot2^3=800\). Para hallar \(k\) basta un segundo dato, como el valor en otro instante: se usa \(y(t_2)/y(t_1)=e^{k(t_2-t_1)}\) y se despeja.

Es un modelo válido mientras el entorno no limite el proceso. Ninguna población crece para siempre; cuando los recursos se agotan hay que añadir un término de saturación, y eso conduce al modelo logístico. También conviene no confundirlo con el crecimiento lineal: sumar o restar una cantidad fija por periodo no es exponencial.

Para pensar

Si una muestra pierde el \(10\,\%\) de su masa cada año, ¿cuánto vale \(e^{k}\)?

\(e^{k}=0.9\), así que \(k=\ln0.9\approx-0.105\).

Ejercicios 10

  1. Resuelve \(y'=3y\) con \(y(0)=2\).
  2. Resuelve \(y'=-\tfrac12 y\) con \(y(0)=4\).
  3. Una población cumple \(y'=ky\), con \(y(0)=100\) y \(y(2)=200\). ¿Cuánto vale \(y(6)\)?
  4. Una sustancia tiene vida media de 5 años y cumple \(y'=ky\). ¿Cuánto vale \(k\)?
  5. Un capital crece con \(y'=0.04y\). ¿Tras cuánto tiempo se duplica (aprox.)?
  6. En \(y'=ky\) con \(k<0\) y \(y(0)>0\), ¿qué ocurre con \(y(t)\) cuando \(t\to\infty\)?
  7. Un isótopo de 100 mg conserva 80 mg tras 3 años. Con decaimiento exponencial, ¿cuántos mg quedan a los 9 años?
  8. Con \(y'=0.1y\), ¿en qué tiempo se triplica la cantidad (aprox.)?
  9. Si \(y'=ky\) con \(y(1)=6\) y \(y(3)=24\), ¿cuánto vale \(y(0)\)?
  10. Una cantidad se duplica cada 3 horas. ¿Qué ecuación cumple?

Después de esto

Referencias

  • William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 12th edition, Wiley, 2021. §2.3
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th edition, Cengage, 2018. §3.1