Función escalón unitario

Con escalones se construye cualquier función definida por tramos. Un pulso que vale 1 entre \(a\) y \(b\) se escribe \(u_a(t)-u_b(t)\), y una función que cambia de \(f_1\) a \(f_2\) en \(t=c\) es \(f_1(t)+\bigl(f_2(t)-f_1(t)\bigr)u_c(t)\). En \(t=c\) el valor es una convención: la integral de Laplace no distingue un solo punto.

Su transformada sale de una integral elemental: \(\mathcal L\{u_c\}=\int_c^\infty e^{-st}dt=\dfrac{e^{-cs}}{s}\). Más en general, el segundo teorema de traslación dice que \(\mathcal L\{u_c(t)f(t-c)\}=e^{-cs}F(s)\): retrasar la señal \(c\) unidades equivale a multiplicar su transformada por \(e^{-cs}\). Leído al revés, cada factor \(e^{-cs}\) en una \(F(s)\) avisa de un retraso al invertir.

Ejemplo guía: para \(y'+y=u_1(t)\) con \(y(0)=0\) queda \(Y(s)=\dfrac{e^{-s}}{s(s+1)}\). Sin el factor exponencial la inversa sería \(1-e^{-t}\); con él, la respuesta es \(u_1(t)\bigl(1-e^{-(t-1)}\bigr)\): nada pasa hasta \(t=1\) y después la solución arranca como si el tiempo empezara ahí.

El error típico es aplicar el teorema cuando el argumento no está desplazado: en \(t\,u_2(t)\) hay que escribir \(t=(t-2)+2\) antes de transformar. Cuidado también con el signo: \(e^{-cs}\) retrasa, \(F(s-c)\) (primer teorema) multiplica por \(e^{ct}\).