Ecuaciones de primer orden · Definición

Ecuación separable

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Antes de empezar necesitas conocer

Es la primera familia de ecuaciones de primer orden que se resuelve por completo con solo integrar, y sirve de modelo para el resto de los métodos.

Definición

Una ecuación separable es una ecuación diferencial de primer orden cuya derivada es el producto de una función \(g\) solo de \(x\) por una función \(h\) solo de \(y\).

\[\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)\;\Longrightarrow\;\int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx\]

El método consiste en pasar todo lo que depende de \(y\) a un lado y todo lo que depende de \(x\) al otro: se escribe \(dy/h(y)=g(x)\,dx\) y se integran ambos lados. La constante de integración se escribe una sola vez. Por ejemplo, \(y'=2xy\) da \(\ln|y|=x^2+c\), y de ahí \(y=Ce^{x^2}\).

El resultado suele quedar en forma implícita, como \(y^2=x^2+C\) para \(y'=x/y\), y no siempre conviene despejar \(y\). Para elegir la constante se usa la condición inicial, y la rama del despeje (el signo de la raíz) la dicta el valor inicial.

Al dividir entre \(h(y)\) se supone \(h(y)\ne0\). Cada raíz \(y_0\) de \(h\) da una solución constante \(y=y_0\) que el procedimiento no produce y que hay que añadir a mano. Tampoco se debe suponer que la solución exista para todo \(x\): \(y'=y^2\) con \(y(0)=1\) da \(y=1/(1-x)\), que deja de existir en \(x=1\).

No toda ecuación es separable: \(y'=x+y\) no se factoriza como producto. A veces basta reescribir, como en \(y'=e^{x+y}=e^{x}e^{y}\). Cuando no se puede, se recurre a otros métodos, como el de las ecuaciones lineales que viene a continuación.

Para pensar

¿Es separable \(y'=x(1+y)\)? Si lo es, ¿cuál es su solución general?

Sí: es \(g(x)=x\) por \(h(y)=1+y\). Entonces \(\ln|1+y|=x^2/2+c\), es decir \(y=Ce^{x^2/2}-1\), que incluye la solución constante \(y=-1\) cuando \(C=0\).

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de estas ecuaciones es separable?
  2. Al separar variables en \(y'=2xy\), ¿qué igualdad de integrales se obtiene?
  3. Halla la solución general de \(y'=3y\).
  4. Separando variables en \(y'=x/y\), ¿qué relación implícita cumplen las soluciones?
  5. Resuelve el problema \(y'=y\), \(y(0)=2\).
  6. Resuelve \(y'=-2xy\), \(y(0)=3\).
  7. Resuelve \(y'=y^2\), \(y(0)=1\).
  8. Al resolver \(y'=y(y-2)\) se divide entre \(y(y-2)\). ¿Qué soluciones constantes se podrían perder?
  9. Resuelve \(y'=-x/y\), \(y(0)=2\).
  10. Resuelve \(y'=e^{x+y}\), \(y(0)=0\).

Referencias

  • William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 12th edition, Wiley, 2021. §2.2
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th edition, Cengage, 2018. §2.2