Ecuación homogénea de primer orden

Aquí «homogénea» no significa lo mismo que en las ecuaciones lineales con lado derecho cero. Significa que la ecuación no cambia si se multiplican \(x\) y \(y\) por un mismo factor: la pendiente en un punto depende solo de la dirección desde el origen. Por eso el campo de direcciones es idéntico a lo largo de cada recta que pasa por el origen.

Esa observación sugiere el cambio de variable. Se escribe \(y=vx\), con \(v\) función de \(x\), y por la regla del producto \(y'=v+xv'\). Al sustituir en \(y'=F(y/x)\) queda \(xv'=F(v)-v\), una ecuación separable: \(\frac{dv}{F(v)-v}=\frac{dx}{x}\). Se integra, y al final se regresa con \(v=y/x\).

Ejemplo guía: en \(y'=\frac{x+y}{x}=1+\frac yx\) se tiene \(F(v)=1+v\), luego \(xv'=1\) y \(v=\ln|x|+C\), de modo que \(y=x(\ln|x|+C)\). Para reconocer el tipo en una ecuación como \(M\,dx+N\,dy=0\), basta comprobar que \(M\) y \(N\) son homogéneas del mismo grado; entonces se divide todo entre la potencia de \(x\) que corresponda.

Si \(F(c)=c\), la recta \(y=cx\) es solución y se pierde al dividir entre \(F(v)-v\); conviene revisarla aparte. Un error típico es olvidar multiplicar por \(x\) al regresar a \(y\). Esta técnica es la primera sustitución del curso; la ecuación de Bernoulli usará otra idea parecida para llegar a una ecuación lineal.