Sistema de ecuaciones diferenciales

Con una sola incógnita basta una ecuación; cuando dos o más cantidades se afectan mutuamente, cada derivada puede depender de todas las demás. Por ejemplo, en \(x'=-y,\ y'=x\) la tasa de cambio de \(x\) la fija \(y\) y viceversa. Si la función \(\mathbf F\) no depende explícitamente de \(t\), el sistema se llama autónomo, y entonces la solución se puede dibujar como una curva en el espacio de las incógnitas.

Toda ecuación de orden \(n\) se reduce a un sistema de primer orden: se toman como incógnitas \(y,y',\dots,y^{(n-1)}\) y se despeja la derivada más alta. Así, \(y''+4y=0\) se vuelve \(x_1'=x_2,\ x_2'=-4x_1\). Esta reducción es la razón por la que basta estudiar sistemas de primer orden.

Dar un sistema junto con el valor de las \(n\) incógnitas en un instante \(t_0\) es un problema de valor inicial; bajo hipótesis de suavidad sobre \(\mathbf F\) tiene solución única. Un equilibrio es un punto donde \(\mathbf F=\mathbf 0\), de modo que la solución constante en ese punto resuelve el sistema.

Cuando \(\mathbf F\) es lineal en \(\mathbf x\), el sistema se escribe \(\mathbf x'=A(t)\mathbf x+\mathbf g(t)\), y se aplican herramientas de álgebra lineal. El caso de coeficientes constantes, siguiente concepto del curso, se resuelve con valores y vectores propios. Un error común es olvidar una condición inicial: un sistema de \(n\) ecuaciones necesita \(n\) condiciones.