Ecuación lineal de primer orden

Para reconocerla, hay que escribirla en forma estándar: el coeficiente de \(y'\) debe ser 1. Así, \(x\,y'+2y=x^2\) se divide entre \(x\) y queda \(y'+(2/x)\,y=x\), con \(p=2/x\) y \(q=x\). Al mover términos de lado cambia el signo: \(y'=3y+x^2\) equivale a \(y'-3y=x^2\), con \(p=-3\).

Si \(q=0\) la ecuación se llama homogénea, \(y'+p(x)\,y=0\), y es separable: su solución es \(y=Ce^{-\int p\,dx}\). Por ejemplo, \(y'+2xy=0\) da \(y=Ce^{-x^2}\). Si \(q\ne0\), la ecuación es no homogénea y su solución general tiene la forma «una solución particular más la solución homogénea». Para \(y'+y=x\) la particular es \(x-1\), y la general es \(x-1+Ce^{-x}\).

La linealidad tiene una consecuencia clave: las soluciones de la ecuación homogénea se pueden sumar y multiplicar por constantes y siguen siendo soluciones. En la no homogénea esto falla: si \(y_p\) resuelve \(y'+y=1\), entonces \(2y_p\) resuelve \(y'+y=2\), y no la misma ecuación. La diferencia de dos soluciones de la no homogénea sí es solución de la homogénea.

Cuando \(p\) y \(q\) son continuas en un intervalo, el teorema de existencia y unicidad garantiza una única solución para cada condición inicial, definida en todo el intervalo. Eso distingue a las lineales de las no lineales como \(y'=y^2\). Que \(q\) no sea cero no se arregla separando variables: el método general para ese caso es el factor integrante.