Modelos de primer orden · Definición

Ley de enfriamiento de Newton

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Antes de empezar necesitas conocer

Es la aplicación más inmediata de la ecuación lineal de primer orden: explica por qué un objeto caliente se enfría rápido al principio y cada vez más despacio después.

Definición

Establece que la temperatura \(T\) de un cuerpo, con valor inicial \(T_0\), cambia a una razón proporcional a su diferencia con la temperatura ambiente \(T_a\), con constante \(k>0\).

\[T'=-k\,(T-T_a)\;\Longrightarrow\; T(t)=T_a+(T_0-T_a)\,e^{-kt}\]

La ecuación \(T'=-k(T-T_a)\) se reescribe como \(T'+kT=kT_a\), lineal con coeficientes constantes. Con el factor integrante \(e^{kt}\) resulta \((e^{kt}T)'=kT_ae^{kt}\), y al integrar se llega a \(T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}\). Equivalentemente, la diferencia \(T-T_a\) obedece \(y'=-ky\): decae exponencialmente.

El signo de \(T-T_a\) manda: si el cuerpo está más caliente que el ambiente, \(T'<0\) y se enfría; si está más frío, \(T'>0\) y se calienta. En ambos casos \(T\) se acerca a \(T_a\) de forma monótona, sin cruzarla ni alcanzarla en tiempo finito; \(T=T_a\) es el único equilibrio.

La constante \(k\) depende del objeto y del medio, y se obtiene con una segunda medición. Como la diferencia se multiplica por el mismo factor en intervalos iguales, el tiempo en que cae a la mitad es \(\ln2/k\) y el tiempo característico es \(1/k\).

Ejemplo guía: un cuerpo a \(100\,^\circ\)C en un cuarto a \(20\,^\circ\)C que marca \(60\,^\circ\)C a los \(5\) min tiene \(k=\ln2/5\) y marca \(40\,^\circ\)C a los \(10\). Un error común es suponer que la temperatura baja una cantidad fija por minuto; lo que se mantiene es la proporción de la diferencia. El modelo supone un ambiente de temperatura constante y un cuerpo de temperatura uniforme.

Para pensar

Si la diferencia con el ambiente baja de \(60\) a \(30\) en \(8\) min, ¿cuánto valdrá a los \(24\) min?

Se divide a la mitad cada \(8\) min: \(60\to30\to15\to7.5\), así que vale \(7.5\).

Ejercicios 10

  1. Resuelve \(T'=-0.1\,(T-20)\) con \(T(0)=80\).
  2. Un café a \(90\,^\circ\)C se deja en un cuarto a \(22\,^\circ\)C. ¿Hacia qué temperatura tiende con el tiempo?
  3. Un cuerpo a temperatura \(T\) está en un ambiente a \(15\,^\circ\)C. ¿Qué ecuación expresa la ley de Newton con constante \(k>0\)?
  4. Con \(k=0.2\) y \(T_a=20\), ¿cuánto vale \(T'\) cuando \(T=50\)?
  5. Un cuerpo a \(100\,^\circ\)C en un ambiente a \(20\,^\circ\)C baja a \(60\,^\circ\)C en \(5\) min. ¿Cuánto vale \(k\)?
  6. Con los datos del ejercicio anterior (de \(100\,^\circ\)C a \(60\,^\circ\)C en \(5\) min, ambiente \(20\,^\circ\)C), ¿qué temperatura tiene a los \(10\) min?
  7. Una bebida a \(5\,^\circ\)C se saca a un ambiente de \(25\,^\circ\)C. ¿Qué signo tiene \(T'\) al inicio y qué ocurre?
  8. Con \(k=0.25\) por minuto, ¿en cuántos minutos la diferencia \(T-T_a\) se reduce a \(1/e\) de la inicial?
  9. Ambiente a \(20\,^\circ\)C. Un cuerpo pasa de \(90\,^\circ\)C a \(55\,^\circ\)C en \(10\) min. ¿Cuándo llega a \(30\,^\circ\)C?
  10. Según el modelo de Newton, un cuerpo que se enfría desde \(T_0>T_a\), ¿cuándo alcanza exactamente \(T_a\)?

Referencias

  • William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 12th edition, Wiley, 2021. §2.3
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th edition, Cengage, 2018. §3.1