Conceptos básicos · Definición
Orden y linealidad
Antes de empezar necesitas conocer
Antes de intentar resolver una ecuación diferencial conviene clasificarla: su orden y su linealidad deciden qué método se puede usar.
Definición
El orden de una ecuación diferencial es el de su derivada más alta; la ecuación es lineal si la incógnita y sus derivadas aparecen solo a la primera potencia y sin multiplicarse entre sí.
El orden se lee directamente: es el número de la derivada más alta que aparece. La ecuación \(y'''+2y'=x\) es de tercer orden, aunque tenga también una derivada primera. Los exponentes no cambian el orden: \((y'')^2+y'=x\) sigue siendo de segundo orden.
La linealidad es una condición sobre cómo entra la incógnita. Es lineal cuando \(y\) y sus derivadas aparecen solo multiplicadas por funciones de \(x\) y sumadas, como en la fórmula de arriba. Son no lineales los productos como \(y\,y'\), las potencias como \(y^2\) o \((y')^3\) y las funciones de la incógnita como \(\sin y\) o \(e^{y}\).
Que los coeficientes dependan de \(x\) no rompe la linealidad: \(x^2y''+e^xy'+y=0\) es lineal. Lo que importa es la dependencia respecto de \(y\). Por eso \(y'+y=y^n\) es lineal solo para \(n=0\) y \(n=1\).
Las ecuaciones lineales tienen una teoría completa y métodos sistemáticos, mientras que las no lineales suelen exigir trucos especiales o aproximaciones. Por eso muchos modelos no lineales se linealizan cerca de un punto: el péndulo \(\theta''+\frac{g}{L}\sin\theta=0\) pasa a \(\theta''+\frac{g}{L}\theta=0\) para ángulos pequeños.
Para pensar
¿Cambia el orden de \(y''=y^5\) al elevar \(y\) a la quinta? ¿Es lineal?
No cambia el orden: sigue siendo 2. No es lineal por el término \(y^5\).
¿Es lineal \(y'=x\,y+\sin x\)?
Sí: \(y'-xy=\sin x\) tiene la forma lineal con \(a_1=1\), \(a_0=-x\) y \(g(x)=\sin x\).
Ejercicios 10
- ¿Cuál es el orden de \(y'''+2y'=x\)?
- ¿Cuál es el orden de \((y')^3+y=0\)?
- ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es lineal?
- ¿Cuál de las siguientes ecuaciones NO es lineal?
- ¿Cuál es el orden de \((y'')^2+y'=x\)?
- Clasifica \(x^2y''+e^{x}y'+y=0\):
- Clasifica \(y''+y\,y'=0\):
- ¿Para qué valores de \(n\) la ecuación \(y'+y=y^n\) es lineal?
- En una ecuación lineal, los coeficientes de \(y,y',\dots\) pueden depender de:
- El péndulo \(\theta''+\dfrac{g}{L}\sin\theta=0\) es una ecuación:
Referencias
- William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 12th edition, Wiley, 2021. §1.3
- Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th edition, Cengage, 2018. §1.1