Derivada parcial

En la práctica no hay nada nuevo que calcular: para obtener \(f_x\) se deriva como en una variable tratando a \(y\) como si fuera una constante, y para \(f_y\) se hace lo contrario. Con \(f(x,y)=x^2y+3y^3\) se tiene \(f_x=2xy\) y \(f_y=x^2+9y^2\). Se usan también las notaciones \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) y \(\partial_x f\); el símbolo \(\partial\) avisa de que hay otras variables fijas.

Geométricamente, cortar la superficie \(z=f(x,y)\) con el plano vertical \(y=b\) produce una curva; \(f_x(a,b)\) es la pendiente de la recta tangente a esa curva en \(x=a\). Del mismo modo \(f_y(a,b)\) es la pendiente en la dirección del eje \(y\). Como cualquier otra derivada, mide una razón de cambio: si \(f_x(a,b)=3\), un aumento pequeño \(\Delta x\) en \(x\) cambia \(f\) aproximadamente en \(3\,\Delta x\).

Las derivadas parciales se pueden volver a derivar y dan las de segundo orden \(f_{xx}\), \(f_{yy}\) y las mixtas \(f_{xy}\), \(f_{yx}\). Si estas últimas son continuas, coinciden (teorema de Clairaut), así que el orden no importa en las funciones habituales. Con \(f=x^2y^3\) se obtiene \(f_{xy}=f_{yx}=6xy^2\).

Conviene no sobreinterpretar: que existan \(f_x\) y \(f_y\) en un punto solo describe lo que pasa a lo largo de los dos ejes. Con \(f(x,y)=|x|+y\), \(f_x(0,0)\) no existe, y hay funciones con ambas parciales en un punto que ni siquiera son continuas allí. La noción que sí controla el comportamiento en todas las direcciones, la diferenciabilidad, se verá después de introducir el plano tangente.