Ecuaciones de primer orden · Definición

Factor integrante

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Antes de empezar necesitas conocer

Es la llave del método general para ecuaciones lineales: convierte un problema sin atajo evidente en una integración directa.

Definición

Un factor integrante es una función \(\mu\) que, al multiplicar una ecuación lineal de primer orden con coeficiente \(p\), convierte el lado izquierdo en la derivada de un producto.

\[\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}\]

Se parte de la forma estándar \(y'+p(x)\,y=q(x)\). Si se multiplica por \(\mu\) y se exige que \(\mu'=p\mu\), la regla del producto da \((\mu y)'=\mu y'+\mu' y=\mu(y'+py)\). Así la ecuación se vuelve \((\mu y)'=\mu q\), que se resuelve integrando: \(y=\frac{1}{\mu}\left(\int \mu q\,dx+C\right)\).

La condición \(\mu'=p\mu\) es separable y su solución positiva es \(\mu=e^{\int p\,dx}\). No importa qué antiderivada de \(p\) se tome: otra constante solo multiplica a \(\mu\) por un número, que se cancela en ambos lados. Por eso se omite la constante en esa primera integral y se conserva solo en la segunda.

Ejemplo guía: en \(y'+2y=e^{-x}\) el coeficiente es \(p=2\), así que \(\mu=e^{2x}\). Al multiplicar queda \((e^{2x}y)'=e^{x}\), luego \(e^{2x}y=e^{x}+C\) y \(y=e^{-x}+Ce^{-2x}\). Una condición inicial fija el valor de \(C\).

Errores típicos: aplicar la fórmula sin llevar antes la ecuación a la forma estándar (si \(xy'+2y=x^2\), primero se divide entre \(x\) y \(p=2/x\)), invertir el signo de \(p\), o olvidar que al despejar \(y\) también hay que dividir la constante entre \(\mu\). Si \(p=0\), entonces \(\mu=1\) y no hay nada que hacer.

Para pensar

¿Qué factor integrante tiene \(y'-\dfrac{2}{x}\,y=x\) para \(x>0\)?

Aquí \(p=-2/x\), luego \(\mu=e^{-2\ln x}=x^{-2}\). Al multiplicar queda \((y/x^2)'=1/x\), de donde \(y=x^2(\ln x+C)\).

¿Por qué el método no sirve tal cual para \(y'+y^2=x\)?

Porque la ecuación no es lineal: la propiedad \(\mu'=p\mu\) usa que el término con \(y\) sea \(p(x)\,y\), de primera potencia.

Ejercicios 10

  1. Halla un factor integrante de \(y'+2y=x\).
  2. Para \(x>0\), halla un factor integrante de \(y'+\dfrac{1}{x}\,y=x^2\).
  3. Halla un factor integrante de \(y'+3x^2y=x^2\).
  4. Escribe \(y'=y+e^{2x}\) en forma estándar y halla un factor integrante.
  5. Con \(\mu=e^{x}\), la ecuación \(y'+y=x\) se vuelve \((e^{x}y)'=xe^{x}\). ¿Cuál es su solución general?
  6. Resuelve \(y'+2y=e^{-x}\).
  7. Para \(x>0\), resuelve \(xy'+2y=x^2\).
  8. Resuelve \(y'+2y=4\) con \(y(0)=3\).
  9. En \((-\pi/2,\pi/2)\), ¿cuál es un factor integrante de \(y'+(\tan x)\,y=1\)?
  10. Al calcular \(\int p\,dx\) para el factor integrante se omite la constante de integración. ¿Por qué se puede?

Después de esto

Referencias

  • William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 12th edition, Wiley, 2021. §2.1
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th edition, Cengage, 2018. §2.3