Campo de direcciones

Para construirlo se elige una cuadrícula de puntos \((x,y)\), se evalúa \(f(x,y)\) en cada uno y se traza un segmento corto con esa pendiente. No hace falta resolver nada: basta sustituir. Una solución es entonces cualquier curva que, en cada punto por donde pasa, es tangente al segmento que allí está dibujado, como una hoja que sigue la corriente de un río.

Las curvas donde la pendiente es constante se llaman isoclinas. Para \(y'=x+y\), la isoclina de pendiente \(c\) es la recta \(y=c-x\); dibujar unas pocas ordena el campo rápidamente. Las isoclinas no son soluciones: solo marcan dónde los segmentos se ven iguales. Que a veces coincidan con una solución, como \(y=x-1\) en \(y'=x-y\), es una casualidad del ejemplo.

Con el campo se leen propiedades sin fórmulas: dónde las soluciones crecen o decrecen, dónde hay soluciones constantes (los puntos con \(f=0\) a lo largo de una recta horizontal) y hacia dónde tienden las curvas. También sirve para estimar un valor: se parte del punto inicial y se avanza siguiendo los segmentos, que es la idea del método de Euler.

El dibujo solo es fiable si el teorema de existencia y unicidad aplica, porque entonces cada curva solución es única y no se cruza con otra. Un error frecuente es dibujar segmentos de longitud variable: todos deben ser cortos e iguales, porque solo importa su dirección.