Transformada de Laplace · Definición

Transformada de Laplace

ecuaciones diferencialestransformada de Laplace

Antes de empezar necesitas conocer

Convierte un problema de valor inicial en uno algebraico: derivar en \(t\) pasa a ser multiplicar por \(s\).

Definición

La transformada de Laplace \(\mathcal L\) asigna a una función \(f(t)\), definida para \(t\ge0\), la función \(F(s)\) obtenida al integrar \(f\) multiplicada por \(e^{-st}\) sobre \([0,\infty)\).

\[\mathcal L\{f\}(s)=F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt\]

La integral impropia converge, para \(s\) suficientemente grande, siempre que \(f\) sea continua por tramos y de orden exponencial, es decir, \(|f(t)|\le Me^{at}\). Por eso \(\mathcal L\{e^{at}\}=1/(s-a)\) solo vale para \(s>a\), mientras que \(e^{t^2}\) no tiene transformada. La operación es lineal: \(\mathcal L\{\alpha f+\beta g\}=\alpha F+\beta G\), y esto basta para transformar sumas de las funciones básicas.

Las transformadas básicas salen directamente de la integral: \(\mathcal L\{1\}=1/s\), \(\mathcal L\{t^n\}=n!/s^{n+1}\), \(\mathcal L\{\sin bt\}=b/(s^2+b^2)\) y \(\mathcal L\{\cos bt\}=s/(s^2+b^2)\). Multiplicar por \(e^{at}\) desplaza \(s\) a \(s-a\), de modo que \(\mathcal L\{te^{t}\}=1/(s-1)^2\). Un error frecuente es cambiar el signo del desplazamiento.

La utilidad aparece al resolver ecuaciones: se transforma la ecuación completa, se despeja \(F(s)\) con álgebra y se regresa a \(f(t)\) con la transformada inversa, usando tablas y fracciones parciales. Las condiciones iniciales entran solas en el proceso, lo que evita buscar una solución general y después ajustar constantes. Es especialmente cómoda cuando el término forzante \(g(t)\) es discontinuo o un impulso.

Para pensar

¿Por qué \(\mathcal L\{e^{2t}\}\) existe solo para \(s>2\)?

Porque el integrando es \(e^{-(s-2)t}\), que tiende a cero (y tiene integral finita) solo si \(s-2>0\); para \(s\le2\) la integral diverge.

Ejercicios 10

  1. Calcula \(\mathcal L\{1\}(s)\) para \(s>0\).
  2. Calcula \(\mathcal L\{t\}(s)\).
  3. Calcula \(\mathcal L\{e^{3t}\}(s)\) para \(s>3\).
  4. Calcula \(\mathcal L\{\sin3t\}(s)\).
  5. Calcula \(\mathcal L\{\cos2t\}(s)\).
  6. Calcula \(\mathcal L\{t^2\}(s)\).
  7. Usa la linealidad para calcular \(\mathcal L\{3+2t\}(s)\).
  8. Calcula \(\mathcal L\{te^{t}\}(s)\).
  9. ¿Para qué valores de \(s\) converge la integral que define \(\mathcal L\{e^{2t}\}(s)\)?
  10. ¿Cuál de estas funciones no tiene transformada de Laplace para ningún \(s\)?

Referencias

  • William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 12th edition, Wiley, 2021. §6.1
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th edition, Cengage, 2018. §7.1