Sistema lineal y valores propios

Se busca una solución con forma \(\mathbf x=e^{\lambda t}\mathbf v\): al derivar sale \(\lambda e^{\lambda t}\mathbf v\), y al multiplicar por \(A\) sale \(e^{\lambda t}A\mathbf v\). Ambos coinciden justo cuando \(A\mathbf v=\lambda\mathbf v\). Cada pareja valor propio–vector propio da una solución, y las combinaciones lineales de ellas siguen siendo soluciones.

Si \(A\) tiene \(n\) valores propios distintos, los \(n\) vectores propios son independientes y la solución general es \(\mathbf x=c_1e^{\lambda_1t}\mathbf v_1+\dots+c_ne^{\lambda_nt}\mathbf v_n\). Las constantes \(c_i\) se fijan con la condición inicial resolviendo \(c_1\mathbf v_1+\dots+c_n\mathbf v_n=\mathbf x(0)\). Ejemplo guía: para \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\), \(\lambda=3\) con \((1,1)\) y \(\lambda=-1\) con \((1,-1)\).

El signo de la parte real de cada \(\lambda\) decide el destino: si todas son negativas, las soluciones tienden al origen; si alguna es positiva, hay soluciones que crecen. Los valores propios complejos \(\alpha\pm i\beta\) producen oscilaciones \(e^{\alpha t}\cos\beta t\) y \(e^{\alpha t}\sin\beta t\). Un valor propio nulo da una solución constante.

Quedan casos que no cubre este método directo: valores propios repetidos sin suficientes vectores propios, que requieren vectores propios generalizados. Un error típico es combinar un valor propio con el vector propio de otro. Este concepto prepara el plano de fase, donde se clasifica el comportamiento según la traza y el determinante de \(A\).