Ecuación característica

La idea nace de que la derivada de \(e^{rt}\) es un múltiplo de ella misma. Al sustituir \(y=e^{rt}\) en \(ay''+by'+cy=0\) queda \(e^{rt}(ar^2+br+c)=0\), y como \(e^{rt}\) nunca se anula, basta que \(r\) sea raíz del polinomio. Cada raíz da una solución, y por el principio de superposición sus combinaciones también lo son.

El discriminante \(b^2-4ac\) separa tres casos. Si es positivo, hay dos raíces reales \(r_1\neq r_2\) y \(y=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}\). Si es cero, hay una raíz doble \(r\) y la segunda solución es \(te^{rt}\), de modo que \(y=(c_1+c_2t)e^{rt}\). Si es negativo, las raíces son \(\alpha\pm\beta i\) y \(y=e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t+c_2\sin\beta t)\).

Con \(y''+2y'+5y=0\), \(r^2+2r+5=0\) da \(r=-1\pm2i\): oscilaciones de frecuencia \(2\) que se apagan como \(e^{-t}\). En cada caso las dos soluciones tienen wronskiano distinto de cero, así que forman una base. El signo de la parte real de las raíces decide si las soluciones crecen o decaen. Un error frecuente es olvidar el caso de raíz doble y proponer solo \(c_1e^{rt}\).