Variación de parámetros

Si \(y_1,y_2\) forman un conjunto fundamental de \(y''+py'+qy=0\), la idea es reemplazar las constantes de \(c_1y_1+c_2y_2\) por funciones: \(y_p=u_1y_1+u_2y_2\). Como hay dos funciones desconocidas, se impone además \(u_1'y_1+u_2'y_2=0\), y sustituir en la ecuación da \(u_1'y_1'+u_2'y_2'=g\). Es un sistema \(2\times2\) cuyo determinante es el wronskiano \(W\neq0\); por Cramer, \(u_1'=-y_2g/W\) y \(u_2'=y_1g/W\), y integrando resulta la fórmula de arriba.

La ecuación debe estar en forma estándar, con coeficiente \(1\) en \(y''\): en \(2y''+2y=8t\) se divide primero y \(g=4t\), no \(8t\). Las constantes de integración se omiten, porque solo añadirían soluciones de la homogénea. Con \(y''+y=\sec t\), \(y_1=\cos t\), \(y_2=\sin t\) y \(W=1\), se obtiene \(u_1=\ln\cos t\) y \(u_2=t\), de modo que \(y_p=\cos t\ln\cos t+t\sin t\); aquí los coeficientes indeterminados no habrían funcionado.

Los costos son que se necesitan \(y_1,y_2\) de antemano (por ejemplo desde la ecuación característica) y que las integrales pueden ser difíciles; cuando \(g\) es polinomio, exponencial o trigonométrica, los coeficientes indeterminados suelen ser más rápidos. La solución general es siempre \(y=c_1y_1+c_2y_2+y_p\). El método también se extiende a orden \(n\) con un sistema \(n\times n\) cuyo determinante es el wronskiano de \(n\) funciones.