Teorema de existencia y unicidad

La idea es sencilla: si \(f(x,y)\) es suave en una región, el punto inicial \((x_0,y_0)\) fija una dirección en cada instante y la curva solución queda determinada paso a paso. Las condiciones precisas son que \(f\) y \(\partial f/\partial y\) sean continuas en un rectángulo que contenga al punto. El resultado es local: la solución existe en un intervalo alrededor de \(x_0\), que puede ser pequeño.

Para ver que «local» es real, considera \(y'=y^2\) con \(y(0)=1\). Ambas funciones, \(y^2\) y \(2y\), son continuas en todo el plano, y la solución es \(y=1/(1-x)\), que explota en \(x=1\). La ecuación es perfectamente suave, y aun así la solución no vive en toda la recta.

Cuando falla la hipótesis sobre \(\partial f/\partial y\), la unicidad puede perderse. El caso clásico es \(y'=\sqrt{y}\) con \(y(0)=0\): tanto \(y=0\) como \(y=x^2/4\) (para \(x\ge 0\)) cumplen el problema, porque \(\partial f/\partial y=1/(2\sqrt{y})\) no es continua en \(y=0\). Un error común es leer esto al revés: si las hipótesis fallan, el teorema no dice que haya varias soluciones, solo que no concluye nada.

Una consecuencia geométrica útil es que, bajo las hipótesis, dos curvas solución distintas nunca se cruzan ni se tocan. Esto permite, por ejemplo, razonar que una solución que parte entre dos soluciones constantes se queda atrapada entre ellas. El siguiente concepto, el campo de direcciones, dibuja justamente esas curvas sin resolver la ecuación.