Ecuaciones de primer orden · Definición

Ecuación exacta

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Antes de empezar necesitas conocer

Reconoce las ecuaciones que son, en realidad, la diferencial de una cantidad conservada; resolverlas equivale a encontrar esa cantidad.

Definición

Una ecuación exacta es una ecuación diferencial \(M\,dx+N\,dy=0\) cuyo lado izquierdo es la diferencial total de una función \(F(x,y)\).

\[\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\]

Si \(F(x,y)\) es el potencial, \(dF=F_x\,dx+F_y\,dy\), así que exactitud significa \(F_x=M\) y \(F_y=N\). Entonces la ecuación dice \(dF=0\) y sus soluciones implícitas son las curvas de nivel \(F(x,y)=C\). Por ejemplo, \(y\,dx+x\,dy=0\) es \(d(xy)=0\), con soluciones \(xy=C\).

Para saber si una ecuación es exacta basta comparar las derivadas cruzadas: si existe \(F\) con derivadas continuas, \(F_{xy}=F_{yx}\), es decir \(M_y=N_x\). Recíprocamente, en un rectángulo, si \(M_y=N_x\) entonces \(F\) existe. Así \((2xy+3)\,dx+(x^2-1)\,dy=0\) es exacta porque ambas derivadas valen \(2x\).

Para hallar \(F\) se integra \(M\) respecto de \(x\), lo que da \(F=\int M\,dx+h(y)\), y se determina \(h\) imponiendo \(F_y=N\). En el ejemplo, \(F=x^2y+3x+h(y)\) y \(x^2+h'(y)=x^2-1\) da \(h=-y\); la solución es \(x^2y+3x-y=C\). Los términos que ya aparecen no se repiten.

Errores típicos: pedir que \(M=N\) en lugar de \(M_y=N_x\), olvidar la función \(h(y)\) al integrar, o creer que una ecuación no exacta no tiene solución. A veces se arregla multiplicando por un factor: \(y\,dx+2x\,dy=0\) no es exacta, pero por \(y\) sí lo es.

Para pensar

¿Es exacta \(x\,dx+y\,dy=0\)? ¿Cuál es su solución?

Sí: \(M_y=0=N_x\). El potencial es \(F=\tfrac12(x^2+y^2)\), y las soluciones son las circunferencias \(x^2+y^2=C\).

¿Es exacta \(y\,dx-x\,dy=0\)?

No: \(M_y=1\) y \(N_x=-1\). Pero es separable, y dividir entre \(xy\) o entre \(x^2\) la vuelve exacta.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de estas ecuaciones es exacta?
  2. Si \(M=xy^2\), ¿cuánto vale \(\dfrac{\partial M}{\partial y}\)?
  3. Si \(N=x^2y+\sin x\), ¿cuánto vale \(\dfrac{\partial N}{\partial x}\)?
  4. ¿Para qué valor de \(k\) es exacta \((kxy+3)\,dx+(x^2+y)\,dy=0\)?
  5. La ecuación \((2x+y)\,dx+(x+2y)\,dy=0\) es exacta. ¿Cuál es una función \(F\) con \(F_x=M\) y \(F_y=N\)?
  6. Resuelve la ecuación exacta \((2xy+3)\,dx+(x^2-1)\,dy=0\).
  7. Resuelve \((2x+e^{y})\,dx+xe^{y}\,dy=0\).
  8. La ecuación \(2xy\,dx+(x^2+1)\,dy=0\) tiene la solución \(x^2y+y=C\). Si \(y(0)=2\), ¿cuánto vale \(y(1)\)?
  9. La ecuación \(y\,dx+2x\,dy=0\) no es exacta. ¿Por cuál función conviene multiplicarla para que lo sea?
  10. Si en una región \(\dfrac{\partial M}{\partial y}\ne\dfrac{\partial N}{\partial x}\), ¿qué se concluye?

Referencias

  • William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 12th edition, Wiley, 2021. §2.6
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th edition, Cengage, 2018. §2.4