Ecuaciones de primer orden · Definición

Ecuación de Bernoulli

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Antes de empezar necesitas conocer

Una ecuación casi lineal, con una potencia de \(y\) que estorba, se rescata con un cambio de variable que la devuelve a la forma lineal.

Definición

Una ecuación de Bernoulli es una ecuación lineal de primer orden cuyo término independiente \(q\) se multiplica por una potencia \(y^n\) de la incógnita, con \(n\ne0,1\).

\[y'+p(x)\,y=q(x)\,y^n,\quad u=y^{1-n}\;\Rightarrow\; u'+(1-n)p\,u=(1-n)q\]

Si \(n=0\) o \(n=1\) la ecuación ya es lineal, y por eso se excluyen. Para cualquier otro \(n\) el término \(y^n\) la hace no lineal y no sirve directamente el factor integrante. Jakob Bernoulli estudió este tipo en el siglo XVII, y la sustitución que la resuelve se debe a Leibniz.

El truco es dividir entre \(y^n\) y definir \(u=y^{1-n}\). Como \(u'=(1-n)y^{-n}y'\), la ecuación queda \(u'+(1-n)p\,u=(1-n)q\), que es lineal en \(u\). Se resuelve con el factor integrante y se regresa con \(y=u^{1/(1-n)}\).

Ejemplo guía: en \(y'+y=y^2\) se toma \(u=1/y\), con lo que \(u'-u=-1\) y \(u=1+Ce^{x}\); entonces \(y=\frac{1}{1+Ce^{x}}\). Es un modelo logístico disfrazado: la solución tiende a \(0\) cuando \(C>0\) y \(x\to\infty\).

Cuidado con dos cosas: al dividir entre \(y^n\) (para \(n>0\)) se pierde la solución \(y=0\), que hay que añadir aparte; y en la ecuación lineal final el coeficiente lleva el factor \((1-n)\), cuyo signo es fuente de errores. Más adelante, las ecuaciones autónomas y el modelo logístico retoman este tipo de resultado.

Para pensar

¿Qué sustitución usarías en \(y'+y=y^{3}\) y qué ecuación lineal sale?

\(u=y^{-2}\), que da \(u'-2u=-2\).

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de estas ecuaciones es de Bernoulli (no lineal)?
  2. Para \(y'+y=xy^2\), ¿qué sustitución la vuelve lineal?
  3. Con \(u=1/y\), la ecuación \(y'+y=xy^2\) se convierte en:
  4. En \(y'+p(x)\,y=q(x)\,y^n\), ¿para qué valores de \(n\) la ecuación ya es lineal?
  5. Resuelve \(y'+y=y^2\) (con \(y\ne0\)).
  6. Resuelve \(y'+\dfrac{y}{x}=xy^2\) para \(x>0\).
  7. Si \(y'+y=y^2\) y \(y(0)=\tfrac12\), ¿cuánto vale \(y(\ln 3)\)?
  8. Con \(u=y^{-2}\), la ecuación \(y'+y=y^3\) se convierte en:
  9. Para \(n>0\), al dividir \(y'+py=qy^n\) entre \(y^n\), ¿qué solución puede perderse?
  10. Si \(y'=y+y^3\), ¿cuál es \(y^2\) en términos de \(C\)?

Referencias

  • William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 12th edition, Wiley, 2021. §2.4
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th edition, Cengage, 2018. §2.5