Transformación de Möbius

El plano complejo ampliado \(\mathbb{C}\cup\{\infty\}\) añade un único punto en el infinito. Allí la transformación se extiende con \(f(-d/c)=\infty\) y \(f(\infty)=a/c\) cuando \(c\neq0\), y con \(f(\infty)=\infty\) cuando \(c=0\). La condición \(ad-bc\neq0\) equivale a que \(f\) no sea constante, pues \(f'(z)=\frac{ad-bc}{(cz+d)^2}\).

La composición de dos transformaciones de Möbius es otra, y su matriz de coeficientes \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) es el producto de las matrices; la inversa corresponde a la matriz inversa, y todo múltiplo no nulo de la matriz da la misma transformación. Por ejemplo, la inversa de \(f(z)=\frac{2z+1}{z+1}\) es \(f^{-1}(w)=\frac{w-1}{2-w}\).

Toda transformación de Möbius se obtiene componiendo traslaciones \(z+b\), giros y dilataciones \(az\) con \(a\neq0\), y la inversión \(1/z\). Por eso envía circunferencias y rectas en circunferencias o rectas: la inversión manda la recta \(\operatorname{Re}z=1\) a una circunferencia que pasa por el origen, y una circunferencia que contiene al punto que va a \(\infty\) se convierte en una recta.

Tres puntos distintos y sus tres imágenes determinan una única transformación de Möbius, así que siempre hay una que lleva tres puntos dados a otros tres. Un ejemplo clásico es \(w=\frac{z-i}{z+i}\), que lleva el semiplano superior al disco unitario, porque \(|z-i|<|z+i|\) exactamente cuando \(\operatorname{Im}z>0\).