Funciones trigonométricas complejas

La fórmula de Euler \(e^{iy}=\cos y+i\sin y\) y su conjugada \(e^{-iy}=\cos y-i\sin y\) se pueden despejar: sumando y restando se obtienen exactamente las expresiones de la caja. Se toman entonces como definición para cualquier \(z\), y coinciden con las funciones reales cuando \(z\) es real. Las demás funciones se definen como siempre: \(\tan z=\sin z/\cos z\), y así sucesivamente.

Casi todas las identidades reales sobreviven: \(\sin^2z+\cos^2z=1\), \(\sin(z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w\), \(\sin(z+2\pi)=\sin z\) y \(\sin(z+\pi)=-\sin z\). Se comprueban sustituyendo las exponenciales, y por eso basta conocer las propiedades de \(e^{z}\). Los ceros también son los de siempre: \(\sin z=0\) solo en \(z=k\pi\), y \(\cos z=0\) solo en \(z=\frac{\pi}{2}+k\pi\).

Lo que cambia es el tamaño. Escribiendo \(z=x+iy\) se obtiene \(\sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\) y \(\cos z=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\). Como \(\cosh y\) y \(\sinh y\) crecen sin límite, ni el seno ni el coseno están acotados en el plano, y por ejemplo \(\cos(iy)=\cosh y\) toma el valor 2. La desigualdad \(|\sin z|\le1\) es una propiedad solo de la recta real.

Un error común es creer que las funciones hiperbólicas son un tema aparte: en realidad \(\cos(iy)=\cosh y\) y \(\sin(iy)=i\sinh y\), de modo que trigonométricas e hiperbólicas son la misma familia vista en ejes distintos. Esto se usará al estudiar funciones enteras y al resolver ecuaciones como \(\cos z=w\).