Función compleja

Escribir \(w=f(z)\) con \(z=x+iy\) equivale a dar dos funciones reales de dos variables, \(u(x,y)\) y \(v(x,y)\). Por ejemplo, \(f(z)=z^2\) tiene \(u=x^2-y^2\) y \(v=2xy\), y \(f(z)=\bar z\) tiene \(u=x\), \(v=-y\). Esta descomposición es la que luego conecta la derivabilidad compleja con las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

El dominio de \(f\) es el conjunto \(D\) donde la regla tiene sentido; si no se dice otra cosa, se toma el mayor posible. Así \(1/(z-i)\) se define en \(\mathbb{C}\setminus\{i\}\), que es un dominio en el sentido de la topología del plano. La imagen es el conjunto de valores \(f(z)\) con \(z\in D\).

Una gráfica necesitaría cuatro dimensiones, así que se visualiza como una transformación: se dibujan dos planos, el \(z\) y el \(w\), y se ve en qué se convierten rectas, circunferencias o regiones. La función \(f(z)=iz\) gira el plano \(90^\circ\); \(f(z)=z^2\) duplica los ángulos en el origen y eleva al cuadrado los módulos, de modo que lleva \(|z|=2\) a \(|w|=4\).

Las sumas, productos y cocientes de funciones complejas se definen punto a punto, y la composición se calcula igual que en el caso real. Errores frecuentes: confundir \(|z|^2\) (real) con \(z^2\) (complejo) y olvidar el doble producto al expandir \((x+iy)^2\). El siguiente paso es dar sentido a \(f(z)\to L\) cuando \(z\to z_0\).