Integración compleja · Definición

Integral de contorno

análisis complejointegración compleja

Antes de empezar necesitas conocer

Es la forma de sumar una función compleja a lo largo de un camino del plano; de ella salen el teorema de Cauchy, los residuos y casi todo el cálculo de integrales reales con variable compleja.

Definición

La integral de contorno de una función continua \(f\) sobre un contorno \(C\) con parametrización \(\gamma\) es el límite de sumas de \(f\) evaluada en puntos de \(C\) por los pequeños desplazamientos complejos.

\[\int_C f(z)\,dz=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt\]

En la práctica la integral se calcula con la parametrización: si \(C\) tiene parametrización \(\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}\), entonces \(\int_C f\,dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt\). El integrando es una función compleja de la variable real \(t\), y se integran parte real e imaginaria por separado. Para el segmento de \(0\) a \(1+i\), con \(\gamma(t)=(1+i)t\), se obtiene \(\int_C z^2\,dz=(1+i)^3/3\).

La integral es lineal en \(f\), aditiva sobre las piezas de un contorno y cambia de signo al invertir el sentido: \(\int_{-C}f\,dz=-\int_Cf\,dz\). No depende de la parametrización elegida mientras esta recorra la curva en el mismo sentido. Además cumple la cota \(\left|\int_Cf\,dz\right|\le ML\), con \(M\) el máximo de \(|f|\) sobre \(C\) y \(L\) la longitud de \(C\).

El resultado puede depender del camino: \(\int_C\bar z\,dz\) de \(0\) a \(1+i\) por el segmento vale \(1\), pero por el camino que va primero a \(1\) y luego sube vale \(1+i\). En cambio, para \(f(z)=z^2\) el valor solo depende de los extremos. Entender cuándo ocurre cada caso es el contenido del teorema de Cauchy.

El ejemplo central es \(\oint_{|z|=1}z^n\,dz\) en sentido antihorario: vale \(2\pi i\) si \(n=-1\) y \(0\) para cualquier otro entero. Esa integral, \(\oint dz/z=2\pi i\), es el eje de la fórmula integral de Cauchy y de los residuos.

Para pensar

¿Cuánto vale \(\int_C dz\) sobre cualquier contorno que va de \(z_0\) a \(z_1\)?

\(z_1-z_0\): con \(f=1\), \(\int_a^b\gamma'(t)\,dt=\gamma(b)-\gamma(a)\).

¿Por qué \(\oint_{|z|=1}\bar z\,dz\) no se anula si \(\oint z\,dz\) sí?

Porque \(z\) es holomorfa y \(\bar z\) no lo es; para holomorfas la integral sobre un contorno cerrado se anula (teorema de Cauchy), mientras que \(\bar z\) da \(2\pi i\).

Ejercicios 10

  1. Calcula \(\displaystyle\int_C z^2\,dz\), con \(C\) el segmento de \(0\) a \(1+i\).
  2. Calcula \(\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z}\), con la circunferencia recorrida una vez en sentido antihorario.
  3. Calcula \(\displaystyle\oint_{|z|=1}z\,dz\) en sentido antihorario.
  4. Calcula \(\displaystyle\oint_{|z|=1}\bar z\,dz\) en sentido antihorario.
  5. Calcula \(\displaystyle\int_C\bar z\,dz\), con \(C\) el segmento de \(0\) a \(1+i\).
  6. Si \(\displaystyle\int_C f\,dz=3-i\), ¿cuánto vale la integral sobre el contorno opuesto \(-C\)?
  7. Un contorno \(C\) está formado por \(C_1\) y \(C_2\). Si \(\int_{C_1}f\,dz=2i\) y \(\int_{C_2}f\,dz=1-i\), ¿cuánto vale \(\int_C f\,dz\)?
  8. Calcula \(\displaystyle\int_C\operatorname{Re}(z)\,dz\), con \(C\) el segmento de \(0\) a \(1+i\).
  9. Sea \(C\) la circunferencia \(|z|=2\) recorrida una vez. Usa \(\left|\int_C f\,dz\right|\le ML\) con \(f(z)=1/z^2\) para acotar \(\left|\int_C f\,dz\right|\).
  10. Para un entero \(n\), ¿para qué valor \(\displaystyle\oint_{|z|=1}z^n\,dz\) (antihorario) es distinta de cero?

Referencias

  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis, 1st edition, Princeton University Press, 2003. Cap. 1, §2.2
  • James Ward Brown, Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th edition, McGraw-Hill, 2014. §40–43
  • Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979. Cap. 4, §1.2