Teorema fundamental del álgebra

La demostración con Liouville es breve. Si \(p\) no se anulara en ningún punto, \(1/p\) sería entera. Como \(|p(z)|\to\infty\) cuando \(|z|\to\infty\), \(1/p\) tiende a \(0\) en el infinito y queda acotada en todo el plano, de modo que es constante; pero entonces \(p\) sería constante, contra la hipótesis. Por tanto \(p\) tiene una raíz \(z_1\).

Una vez hallada una raíz, la división da \(p(z)=(z-z_1)\,q(z)\) con \(q\) de grado \(n-1\). Repitiendo el argumento se agotan los factores y se llega a \(p(z)=a_n(z-z_1)\cdots(z-z_n)\). Las raíces pueden repetirse: el número de veces que aparece \(z_k\) es su multiplicidad, y la suma de multiplicidades es exactamente el grado.

Se dice que \(\mathbb{C}\) es algebraicamente cerrado, a diferencia de \(\mathbb{R}\), donde \(x^2+1\) no tiene raíz. Si los coeficientes son reales, las raíces no reales aparecen en pares conjugados \(z_k,\overline{z_k}\), por lo que todo polinomio real se factoriza en factores lineales y cuadráticos irreducibles reales. Además fórmulas de Vieta relacionan raíces y coeficientes: la suma de las raíces es \(-a_{n-1}/a_n\) y el producto es \((-1)^n a_0/a_n\).

El teorema asegura que existen las raíces, pero no dice cómo calcularlas; para grado \(\ge5\) no hay fórmula general con radicales. Errores típicos: contar solo las raíces distintas en lugar de contar multiplicidades, o creer que un polinomio real de grado impar solo tiene raíces reales.