Continuidad compleja

Tres cosas deben cumplirse en \(z_0\): que \(f(z_0)\) exista, que exista el límite y que ambos coincidan. Fallar en cualquiera produce una discontinuidad; si el límite existe pero no es \(f(z_0)\), se dice evitable, porque redefinir el valor la elimina. Así \((z^2-4)/(z-2)\) con \(f(2)=c\) es continua en \(2\) exactamente cuando \(c=4\).

Los polinomios, \(\operatorname{Re}\), \(\operatorname{Im}\), \(|z|\) y \(\bar z\) son continuas en todo \(\mathbb{C}\). La suma, el producto, el cociente (donde el denominador no se anula) y la composición de continuas son continuas, de modo que \(1/(z^2-4)\) lo es en \(\mathbb{C}\setminus\{\pm 2\}\). Una función \(f=u+iv\) es continua en \(z_0\) si y solo si lo son \(u\) y \(v\) en \((x_0,y_0)\).

La continuidad es mucho más débil que la derivabilidad compleja: \(\bar z\) es continua en todas partes y, como se verá, no es derivable en ningún punto. En cambio, hereda los teoremas de las funciones reales: sobre un conjunto cerrado y acotado, como el disco \(|z|\le 1\), una función continua es acotada y \(|f|\) alcanza su máximo; y si \(f(z_0)\neq 0\), se mantiene distinta de \(0\) cerca de \(z_0\).

Un error frecuente es probar continuidad comprobando solo algunas trayectorias, cuando la definición pide una sola cota válida para todas. El siguiente paso es la exponencial compleja, la primera función continua realmente nueva.