Series y residuos · Definición

Serie de Laurent

análisis complejoseries

Antes de empezar necesitas conocer

Extiende la serie de Taylor a regiones con un «hueco» y permite estudiar una función justo alrededor de un punto donde deja de ser holomorfa.

Definición

La serie de Laurent de una función \(f\) holomorfa en un anillo \(r<|z-z_0|<R\) es su desarrollo en potencias enteras, positivas y negativas, de \(z-z_0\), con coeficientes \(a_n\).

\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\]

Los coeficientes se calculan con \(a_n=\frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta-z_0|=\rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}d\zeta\), donde \(\rho\) es cualquier radio entre \(r\) y \(R\); por Cauchy no depende de \(\rho\). La serie se separa en la parte regular (\(n\ge0\)), que converge en \(|z-z_0|<R\), y la parte principal (\(n<0\)), que converge en \(|z-z_0|>r\). Juntas convergen exactamente en el anillo.

El desarrollo es único, pero depende del anillo: \(\frac1{z-1}\) vale \(-\sum_{n\ge0}z^n\) en \(|z|<1\) y \(\sum_{n\ge1}z^{-n}\) en \(|z|>1\). Por eso un ejercicio de Laurent siempre debe indicar la región. En la práctica se usan series conocidas (\(e^{w}\), \(\sin w\), la geométrica) sustituyendo \(w=1/z\) o \(w=z/a\), y fracciones parciales para funciones racionales.

Si \(f\) es holomorfa en todo el disco, la parte principal es cero y se recupera la serie de Taylor. El coeficiente \(a_{-1}\) tiene un papel especial: \(\oint f\,dz=2\pi i\,a_{-1}\) sobre una circunferencia del anillo, pues \(\oint z^n dz=0\) para \(n\neq-1\). De ahí nacen los residuos.

La parte principal es lo que clasifica el comportamiento de \(f\) cerca de una singularidad aislada: ninguna, finitas o infinitas potencias negativas. Error típico: elegir el desarrollo de la región equivocada, o desarrollar en \(z\) cuando el centro es otro punto.

Para pensar

¿Por qué \(\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2}=0\) pero \(\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i\)?

Porque \(\oint z^n dz=0\) para \(n\neq-1\) (tiene primitiva) y solo \(n=-1\) da \(2\pi i\): es el coeficiente \(a_{-1}\).

¿Puede una misma función tener dos series de Laurent distintas en torno al mismo centro?

Sí, si se desarrollan en anillos distintos: en cada anillo es única, pero cambia al cruzar una singularidad.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál es el coeficiente de \(z^{-3}\) en la serie de Laurent de \(e^{1/z}\) en \(0<|z|\)?
  2. Halla el coeficiente de \(z^{-1}\) en el desarrollo de Laurent de \(z^2\sin(1/z)\) en \(0<|z|\).
  3. En \(0<|z|<1\), la serie de Laurent de \(\frac1{z^2(1-z)}\) tiene exactamente ¿cuántos términos con potencia negativa?
  4. ¿Cuál es la serie de Laurent de \(\frac1{z-1}\) en la región \(|z|>1\)?
  5. Calcula \(\oint_{|z|=1}e^{3/z}\,dz\), con la circunferencia recorrida una vez en sentido positivo.
  6. Si \(f\) es holomorfa en todo el disco \(|z-z_0|<R\), ¿cómo es su serie de Laurent en \(0<|z-z_0|<R\)?
  7. Sea \(f(z)=\frac1{(z-1)(z-2)}\). En el anillo \(1<|z|<2\), ¿cuánto vale el coeficiente \(a_0\)?
  8. ¿Qué integral da el coeficiente \(a_{-2}\) de la serie de Laurent de \(f\) en torno a \(z_0\) (sobre una circunferencia dentro del anillo)?
  9. Halla el coeficiente de \((z-1)^{-1}\) en la serie de Laurent de \(\frac{e^{z}}{(z-1)^2}\) en \(0<|z-1|\).
  10. ¿Cuál de estas funciones NO admite serie de Laurent en el anillo \(0<|z|<1\)?

Referencias

  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis, 1st edition, Princeton University Press, 2003. Cap. 3, §2
  • James Ward Brown, Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th edition, McGraw-Hill, 2014. §60
  • Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979. Cap. 5, §1.1