Topología del plano complejo

Como \(|z-w|\) es la distancia entre dos complejos, \(\mathbb{C}\) se comporta como el plano \(\mathbb{R}^2\). Un conjunto \(U\) es abierto si cada uno de sus puntos es centro de algún disco \(D(z_0,r)\) contenido en \(U\); es cerrado si su complemento es abierto, o, de forma equivalente, si contiene todos los puntos de su frontera. Un disco \(|z-z_0|<r\) es abierto; con \(\le\) es cerrado.

La frontera de un conjunto son los puntos que tienen cerca puntos del conjunto y puntos de fuera: la del disco \(|z|<1\) es la circunferencia \(|z|=1\). Un conjunto es acotado si cabe en un disco \(|z|<R\) para algún \(R\). Ser abierto y ser cerrado no son opuestos: \(\mathbb{C}\) y el vacío son ambos, y un conjunto como \(\{|z|<1\}\cup\{1\}\) no es ninguno.

Un conjunto abierto es conexo si dos puntos cualesquiera se unen por una poligonal contenida en él. Un abierto conexo se llama dominio (o región), y es el escenario habitual de la teoría: el anillo \(1<|z|<2\) y el semiplano \(\operatorname{Re}z>0\) son dominios; \(\operatorname{Re}z\neq0\) es abierto pero no conexo.

Error típico: pensar que un conjunto cerrado es «uno que no es abierto». Otro: olvidar que el signo \(<\) o \(\le\) decide la pertenencia de la circunferencia. Esta noción se usa de inmediato para decir dónde está definida una función compleja y qué significa acercarse a un punto.