Integración compleja · Definición
Curva y contorno
Antes de empezar necesitas conocer
Para integrar en el plano hay que decir primero por dónde se camina: las curvas y los contornos son esos caminos, y todo lo que sigue en integración compleja se calcula sobre ellos.
Definición
Una curva suave \(\gamma\) es una función de un intervalo real \([a,b]\) en \(\mathbb{C}\) con derivada continua y no nula; un contorno es una cadena finita de curvas suaves unidas extremo con extremo.
Una curva se describe mediante una parametrización \(\gamma(t)=x(t)+iy(t)\): cada valor del parámetro \(t\) da un punto del plano y, al crecer \(t\), el punto se mueve y deja una trayectoria con sentido. Una misma trayectoria admite muchas parametrizaciones; por ejemplo \(\gamma(t)=(1-t)+it\) con \(0\le t\le1\) y \(\tilde\gamma(s)=(1-s^2)+is^2\) con \(0\le s\le1\) recorren el mismo segmento de \(1\) a \(i\).
La derivada \(\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)\) es el vector velocidad. Pedir que sea continua y distinta de cero garantiza una recta tangente en cada punto y excluye cúspides y paradas. La longitud de la curva es \(L=\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt\); para \(\gamma(t)=e^{it}\), \(0\le t\le2\pi\), da \(2\pi\).
Un contorno admite esquinas: es una sucesión \(\gamma_1,\dots,\gamma_n\) de curvas suaves tal que el final de cada una es el inicio de la siguiente. El borde de un rectángulo, con cuatro lados, es el ejemplo típico. Se llama cerrado si el último punto coincide con el primero, y simple si no se corta a sí mismo, salvo en los extremos de un contorno cerrado.
Cada curva tiene su opuesta \(-\gamma\), que recorre los mismos puntos en sentido contrario, por ejemplo \(-\gamma(t)=\gamma(a+b-t)\). Los contornos cerrados simples se orientan de forma positiva (antihoraria) por convención. En el concepto siguiente, la integral de contorno usará exactamente \(\gamma\) y \(\gamma'\) para convertir una integral sobre el camino en una integral real ordinaria.
Para pensar
Da dos parametrizaciones distintas del segmento de \(0\) a \(1\).
Por ejemplo \(\gamma(t)=t\) con \(0\le t\le1\) y \(\tilde\gamma(s)=s^2\) con \(0\le s\le1\); ambas recorren el mismo segmento en el mismo sentido.
¿Por qué \(\gamma(t)=t^2+it^2\) en \([-1,1]\) no es una curva suave?
Porque \(\gamma'(t)=2t(1+i)\) se anula en \(t=0\); además la curva baja y vuelve a subir pasando dos veces por los mismos puntos.
Ejercicios 10
- Para la curva \(\gamma(t)=t+it^2\), \(0\le t\le1\), calcula el punto final \(\gamma(1)\).
- Si \(\gamma(t)=e^{it}\), ¿cuánto vale \(\gamma'(t)\)?
- ¿Qué curva describe \(\gamma(t)=2+3e^{it}\), \(0\le t\le2\pi\)?
- ¿Cuál parametriza el segmento de \(1\) a \(i\) con \(0\le t\le1\)?
- Calcula la longitud de la curva \(\gamma(t)=3t+4it\), \(0\le t\le2\), usando \(L=\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt\).
- Para \(\gamma(t)=t+it^2\), calcula \(|\gamma'(1)|\).
- ¿Cuántas curvas suaves forman el contorno que recorre el borde de un triángulo?
- ¿Es suave en \([-1,1]\) la curva \(\gamma(t)=t^3+it^3\)? Su imagen es un segmento.
- Sea \(\gamma(t)=e^{it}\), \(0\le t\le\pi\), que va de \(1\) a \(-1\). ¿Cuál parametriza la curva opuesta \(-\gamma\) con \(0\le t\le\pi\)?
- Selecciona la afirmación correcta sobre un contorno cerrado simple.
Después de esto
Referencias
- Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis, 1st edition, Princeton University Press, 2003. Cap. 1, §2.1
- James Ward Brown, Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th edition, McGraw-Hill, 2014. §38–39
- Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979. Cap. 4, §1.1