Número complejo

La ecuación \(x^2+1=0\) no tiene solución real, y la idea es simple: añadir un símbolo \(i\) con \(i^2=-1\) y operar con él como con cualquier letra, usando ese hecho para simplificar. Así los números \(a+bi\) se suman y multiplican con las reglas habituales: \((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\) y \((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\). Dos complejos son iguales exactamente cuando coinciden sus partes real e imaginaria.

Los reales son los complejos con \(b=0\), de modo que \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\) y las operaciones extienden las de siempre. Los de la forma \(bi\) se llaman imaginarios puros. Como \(\mathbb{C}\) es un cuerpo, todo \(z\neq0\) tiene inverso: se obtiene multiplicando numerador y denominador por el conjugado, que es el tema siguiente.

Geométricamente, \(a+bi\) corresponde al punto \((a,b)\) del plano, con el eje horizontal para la parte real y el vertical para la imaginaria. Sumar complejos es sumar vectores. La multiplicación tendrá una lectura geométrica propia (giro y escala) cuando veamos módulo y forma polar.

Dos errores comunes: llamar «parte imaginaria» a \(bi\) en vez de \(b\), y escribir \(i^2=1\) o dejar \(i^2\) sin simplificar. Además, a diferencia de \(\mathbb{R}\), no hay un orden en \(\mathbb{C}\) compatible con la suma y el producto: expresiones como \(z<w\) no tienen sentido, solo se comparan módulos.