Funciones analíticas · Definición

Función armónica

análisis complejofunciones armónicas

Antes de empezar necesitas conocer

Las partes real e imaginaria de una función holomorfa son armónicas, lo que enlaza el análisis complejo con el potencial eléctrico, el calor estacionario y los fluidos ideales.

Definición

Una función real \(u\) de dos variables, con segundas derivadas parciales continuas en un abierto \(U\) del plano, es armónica si su laplaciano \(\Delta u\) es cero en todo \(U\).

\[\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\]

Son armónicas las funciones afines \(ax+by+c\), \(x^2-y^2\), \(xy\), \(e^x\cos y\) y \(\ln\sqrt{x^2+y^2}\) (esta última en \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\)). En cambio \(x^2+y^2\) tiene laplaciano \(4\). Las sumas y los múltiplos de armónicas son armónicas, pero el producto en general no: \(u=v=x\) son armónicas y \(uv=x^2\) no lo es.

Si \(f=u+iv\) es holomorfa, Cauchy-Riemann da \(u_x=v_y\) y \(u_y=-v_x\). Derivando otra vez, \(u_{xx}=v_{yx}=-u_{yy}\), es decir \(\Delta u=0\), y de modo análogo \(\Delta v=0\). Esto usa que \(f\) tiene derivadas de todos los órdenes, hecho que se demuestra más adelante con la fórmula integral de Cauchy.

Recíprocamente, si \(u\) es armónica en un abierto simplemente conexo, existe una armónica \(v\), única salvo constante, con \(u+iv\) holomorfa; se llama conjugada armónica de \(u\). Se obtiene integrando: \(v_y=u_x\) determina \(v\) salvo una función de \(x\), y \(v_x=-u_y\) fija esa función. Para \(u=x^2-y^2\) resulta \(v=2xy\) y \(f=z^2\).

La hipótesis topológica importa: \(u=\ln|z|\) es armónica en \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\), pero su conjugada sería \(\arg z\), que no es univaluada en todo ese dominio. Las armónicas cumplen además la propiedad del valor medio y no tienen máximos locales estrictos en el interior, consecuencias que se verán más adelante.

Para pensar

¿Es armónica \(u=x^3-3xy\)?

No: \(u_{xx}=6x\) y \(u_{yy}=0\), así que \(\Delta u=6x\), que no es cero. La armónica es \(x^3-3xy^2\).

¿Qué función holomorfa tiene parte real \(e^x\cos y\)?

\(f(z)=e^z\), pues \(e^{x+iy}=e^x\cos y+ie^x\sin y\); la conjugada armónica es \(e^x\sin y\).

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de estas funciones es armónica en todo el plano?
  2. Calcula \(\Delta u\) para \(u=x^3+y^3\).
  3. Una conjugada armónica de \(u=x^2-y^2\) es
  4. Una conjugada armónica de \(u=e^x\cos y\) es
  5. ¿Cuál de estas funciones puede ser la parte real de una función holomorfa en todo \(\mathbb{C}\)?
  6. Halla \(a\) para que \(u=x^2+ay^2\) sea armónica.
  7. Halla \(a>0\) para que \(u=e^{ax}\sin y\) sea armónica.
  8. Halla una conjugada armónica de \(u=x^3-3xy^2\).
  9. La función \(u=\ln(x^2+y^2)\) es armónica en \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\). ¿Tiene una conjugada armónica en todo ese dominio?
  10. Si \(u\) y \(v\) son armónicas en un abierto, ¿es \(uv\) siempre armónica?

Referencias

  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis, 1st edition, Princeton University Press, 2003. Cap. 1, ejercicio 11
  • James Ward Brown, Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th edition, McGraw-Hill, 2014. §26–27
  • Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979. Cap. 4, §6