Primitiva compleja

Si \(F\) es una primitiva de \(f\) en \(D\) y \(C\) es un contorno en \(D\) que va de \(z_0\) a \(z_1\), entonces \(\int_C f\,dz=F(z_1)-F(z_0)\), sin importar la forma del camino. Se demuestra con la regla de la cadena: \(\frac{d}{dt}F(\gamma(t))=f(\gamma(t))\gamma'(t)\), y se integra en \(t\). Las primitivas se calculan con las mismas reglas del cálculo real: \(z^n\to\frac{z^{n+1}}{n+1}\), \(e^z\), \(\sin z\to-\cos z\), etc.

Con primitiva, las integrales cerradas valen cero, porque los extremos coinciden. Por eso \(\oint_{|z|=1}z^3\,dz=0\) y también \(\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2}=0\), pues \(-1/z\) es primitiva en \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\). Recíprocamente, si \(f\) es continua y todas sus integrales cerradas en \(D\) son cero, entonces \(F(z)=\int_{z_0}^{z}f\) es una primitiva.

Con el teorema de Cauchy-Goursat, toda función holomorfa en un abierto simplemente conexo tiene primitiva ahí. El caso límite es \(1/z\) en \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\), que no es simplemente conexo y no tiene primitiva: su integral sobre \(|z|=1\) es \(2\pi i\). El logaritmo sirve de primitiva solo en regiones que no rodean al origen, y el valor de \(\int dz/z\) depende del camino.

Un error típico es olvidar que la primitiva debe existir en todo el conjunto que recorre el camino: no basta tener una fórmula para \(F\) en un trozo. Otro es usar \(F(z_1)-F(z_0)\) cuando \(f\) ni siquiera es holomorfa, como \(\bar z\), que no tiene primitiva.