Logaritmo complejo

Si \(e^{w}=z\) con \(w=u+iv\), entonces \(e^{u}=|z|\) y \(v\) es un argumento de \(z\). Así, \(u=\ln|z|\) y \(v=\arg z+2\pi k\), lo que da la fórmula \(\log z=\ln|z|+i(\arg z+2\pi k)\). Los logaritmos de \(z\) forman, pues, una familia que difiere en múltiplos enteros de \(2\pi i\), y \(\log 0\) no existe porque \(e^{w}\neq0\).

Para tener una función se fija una rama. La más usada es el logaritmo principal, \(\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z\), con \(\operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi]\). Por ejemplo \(\operatorname{Log}i=\tfrac{\pi}{2}i\), \(\operatorname{Log}(-1)=\pi i\) y \(\operatorname{Log}(1+i)=\tfrac12\ln2+\tfrac{\pi}{4}i\). Todo logaritmo de \(z\) es \(\operatorname{Log}z+2\pi i k\).

Esta elección tiene un precio: \(\operatorname{Log}\) es discontinua sobre los reales negativos, donde el argumento salta de \(\pi\) a \(-\pi\), y es continua en el resto, \(\mathbb{C}\) menos \((-\infty,0]\). Además, \(e^{\operatorname{Log}z}=z\) siempre, pero \(\operatorname{Log}e^{z}=z\) solo si \(\operatorname{Im}z\in(-\pi,\pi]\); por ejemplo \(\operatorname{Log}e^{4i}=(4-2\pi)i\).

Las reglas del logaritmo real se cumplen solo salvo múltiplos de \(2\pi i\): \(\log(zw)=\log z+\log w\) como igualdad de conjuntos, pero no para el logaritmo principal (con \(z=w=-1\) falla por \(2\pi i\)). Es el error más común al pasar del caso real al complejo.